Обмежені й необмежені послідовності

Вступ до математичного аналізу.

Числова послідовність.

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число х_n, то говорять, що задано послідовність

x ₁, х ₂, …, х_n = { x_n }

Загальний елемент послідовності є функцією від n.

x_n = f (n)

У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.

Приклад. { x_n } = {(–1) ⁿ } або { x_n } = –1; 1; –1; 1; …

{ x_n } = {sin p n /2} або { x_n } = 1; 0; 1; 0; …

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

1) Множення послідовності на число m: m { x_n } = { mx_n }, тобто mx₁, mx₂, …

2) Додавання (вирахування) послідовностей: { x_n } ± { y_n } = { x_n ± y_n }.

3) Добуток послідовностей: { x_n }×{ y_n } = { x_n × y_n }.

4) Частка послідовностей: при { y_n } ¹ 0.

Обмежені й необмежені послідовності.

Визначення. Послідовність { x_n } називається обмеженою, якщо існує таке число М >0, що для будь-якого n вірне нерівність:

тобто всі члени послідовності належать проміжку (– М; M).

Визначення. Послідовність { x_n } називається обмеженою згори, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Визначення. Послідовність { x_n }називається обмеженої знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Приклад. { x_n } = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }...

Визначення. Число а називається границею послідовності { x_n }, якщо для будь-якого позитивного e >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

Це записується: .

У цьому випадку говорять, що послідовність { x_n } збігається до а при n ®¥.

Властивість: Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

Приклад. Довести, що границя послідовності .

Нехай при n > N вірно , тобто . Це вірно при , таким чином, якщо за N взяти цілу частину від , то твердження, наведене вище, виконується.

Приклад. Показати, що при n ®¥ послідовність 3, має границею число 2.

Отже: { x_n }= 2 + 1/ n; 1/ n = x_n – 2

Очевидно, що існує таке число n, що , тобто .

Теорема. Послідовність не може мати більше однієї границі.

Доведення. Припустимо, що послідовність { x_n } має дві границі a і b, не рівні один одному.

x_n ® a; x_n ® b; a ¹ b.

Тоді за визначенням існує таке число e >0, що

Запишемо вираз:

А тому що e – будь-яке число, те , тобто a = b. Теорему доведено.

Теорема. Якщо x_n ® a, то .

Доведення. З x_n ® a треба, що . У той же час:

, тобто , тобто . Теорему доведено.

Теорема. Якщо x_n ® a, то послідовність { x_n } обмежена.

Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

Наприклад, послідовність не має границі, хоча

Поиск по сайту: