 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Точки розриву і їхня класифікація
Розглянемо деяку функцію f (x), неперервну в околиці точки х 0, за винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції треба, щоб х = х 0 була точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній неперервною.
Слід зазначити також, що неперервність функції може бути однобічною. Пояснимо це в такий спосіб.
Якщо однобічна границя (див. вище) 
, то функція називається неперервною праворуч.
 |
х 0
Якщо однобічна границя (див. вище) 
, то функція називається неперервною ліворуч.
 |
х 0
Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву функції f (x), якщо f (x) не визначена в точці х 0 або не є неперервною в цій точці.
Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву 1-го роду, якщо в цій точці функція f (x) має скінченні, але не рівні між собою ліву і праву границі.
Для виконання умов цього визначення непотрібно, щоб функція була визначена в точці х = х 0, достатньо того, щоб вона була визначена ліворуч і праворуч від неї.
З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1-го роду функція може мати тільки скінченний стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1-го роду ще іноді називають усувною точкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче.
Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву 2-го роду, якщо в цій точці функція f (x) не має хоча б одної з однобічних границь або хоча б одна з них нескінченна.
Приклад. Функція Діріхле (Діріхле Петер Густав (1805–1859) – німецький математик, член-кореспондент Петербурзької АН з 1837р.)
не є неперервною в будь-якій точці х 0.
Приклад. Функція f (x) = 
має в точці х 0 = 0 точку розриву 2-го роду, тому що
.
Приклад. 
Функція невизначена в точці х = 0, але має в ній кінцева границя 
, тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1-го роду. Це – усувна точка розриву, тому що якщо довизначити функцію:
Графік цієї функції:
Приклад. 
y
0 x
–1
Ця функція також позначається sign(x) – знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Оскільки ліва й права границі функції різні, то точка розриву – 1-го роду. Якщо довизначити функцію в точці х = 0, поклавши f (0) = 1, то функція буде неперервна праворуч, якщо покласти f (0) = –1, то функція буде неперервною ліворуч, якщо покласти f (x) рівне якому-небудь числу, відмінному від 1 або –1, то функція не буде неперервна ні ліворуч, ні праворуч, але у всіх випадках проте буде мати в точці х = 0 розрив 1-го роду. У цьому прикладі точка розриву 1-го роду не є усувною.
Таким чином, для того, щоб точка розриву 1-го роду була усувною, необхідно, щоб однобічні границі праворуч і ліворуч були скінченні й рівні, а функція була б у цій точці не визначена.
Поиск по сайту: