АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Точки розриву і їхня класифікація

Читайте также:
  1. Анализ рекламы с точки зрения семиотики.
  2. Введение. Одонтологические таблицы Фоля с точки зрения Живой Этики
  3. Види документів та їх класифікація.
  4. Види документів та їх класифікація.
  5. Види підприємств та їх класифікація. Об’єднання підприємств
  6. Визитные карточки
  7. Визначення оптимального рівня товарних запасів та точки замовлення
  8. ВНИМАНИЕ: корректировка данной карточки разрешена с места “Инспектор на приме”.
  9. ВНИМАНИЕ: Просмотр возможен с карточки любого члена семьи.
  10. ВНИМАНИЕ: Просмотр возможен с карточки любого члена семьи.
  11. Время и позиция точки сборки
  12. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

 

Розглянемо деяку функцію f (x), неперервну в околиці точки х 0, за винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції треба, щоб х = х 0 була точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній неперервною.

Слід зазначити також, що неперервність функції може бути однобічною. Пояснимо це в такий спосіб.

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною праворуч.


 

 

 
 

 

 


х 0

 

 

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною ліворуч.

 
 

 


х 0

 

 

Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву функції f (x), якщо f (x) не визначена в точці х 0 або не є неперервною в цій точці.

 

Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву 1-го роду, якщо в цій точці функція f (x) має скінченні, але не рівні між собою ліву і праву границі.

Для виконання умов цього визначення непотрібно, щоб функція була визначена в точці х = х 0, достатньо того, щоб вона була визначена ліворуч і праворуч від неї.

З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1-го роду функція може мати тільки скінченний стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1-го роду ще іноді називають усувною точкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче.

 

Визначення. Точка х 0 називається точкою розриву 2-го роду, якщо в цій точці функція f (x) не має хоча б одної з однобічних границь або хоча б одна з них нескінченна.

 

Приклад. Функція Діріхле (Діріхле Петер Густав (1805–1859) – німецький математик, член-кореспондент Петербурзької АН з 1837р.)

не є неперервною в будь-якій точці х 0.

Приклад. Функція f (x) = має в точці х 0 = 0 точку розриву 2-го роду, тому що

.

 

Приклад.

Функція невизначена в точці х = 0, але має в ній кінцева границя , тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1-го роду. Це – усувна точка розриву, тому що якщо довизначити функцію:

 

Графік цієї функції:

 

 

Приклад.

 

y

 

 

 

0 x

 

–1

 

 

Ця функція також позначається sign(x) – знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Оскільки ліва й права границі функції різні, то точка розриву – 1-го роду. Якщо довизначити функцію в точці х = 0, поклавши f (0) = 1, то функція буде неперервна праворуч, якщо покласти f (0) = –1, то функція буде неперервною ліворуч, якщо покласти f (x) рівне якому-небудь числу, відмінному від 1 або –1, то функція не буде неперервна ні ліворуч, ні праворуч, але у всіх випадках проте буде мати в точці х = 0 розрив 1-го роду. У цьому прикладі точка розриву 1-го роду не є усувною.

 

Таким чином, для того, щоб точка розриву 1-го роду була усувною, необхідно, щоб однобічні границі праворуч і ліворуч були скінченні й рівні, а функція була б у цій точці не визначена.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)