 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Монотонні послідовності
Визначення. 1) Якщо xn +1 > xn для всіх n, то послідовність зростаюча.
2) Якщо xn +1 … xn для всіх n, то послідовність неспадна.
3) Якщо xn +1 < xn для всіх n, те послідовність спадна.
4) Якщо xn +1 „ xn для всіх n, те послідовність незростаюча
Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі й спадні послідовності називаються строго монотонними.
Приклад. { xn } = 1/ n – спадна й обмежена
{ xn } = n – зростаюча й необмежена.
Приклад. Довести, що послідовність { xn }= 
монотонна зростаюча.
Знайдемо член послідовності { xn +1}= 
Знайдемо знак різниці: { xn }–{ xn +1}= 
, тому що 
, то знаменник додатний при будь-якому n.
Таким чином, xn +1 > xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.
Приклад. З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність { xn } = 
.
Знайдемо 
. Знайдемо різницю 
, тому що , то 1 – 4 n <0, тобто хn +1 < xn. Послідовність монотонно спадає.
Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність має границю.
Доведення. Розглянемо монотонну неспадну послідовність
Ця послідовність обмежена зверху: 
, де М – деяке число.
Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного e > 0 існує таке число N, що x > a – e, де а – деяка верхня грань множини.
Оскільки { xn } – неспадна послідовність, то при N > n 
, xn > a – e.
Звідси a – e < xn < a + e
– e < xn – a < e або ô xn – a ô< e, тобто 
.
Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.
Число е.
Розглянемо послідовність { xn } = 
.
Якщо послідовність { xn } монотонна й обмежена, то вона має скінченну границю.
За формулою бінома Ньютона:
або, що те ж саме
Покажемо, що послідовність { xn } – зростаюча. Дійсно, запишемо вираз xn +1 і прирівняємо його з виразом xn:
Кожний доданок у виразі xn +1 більше відповідного значення xn, і, крім того, в xn +1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність { xn } зростаюча.
Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують трьох: xn < 3.
Отже, послідовність 
– монотонно зростаюча і обмежена зверху, тобто має скінченну границю. Цю границю прийнято позначати буквою е.
З нерівності 
треба, щоб 
. Відкидаючи в рівності для { xn } всі члени, починаючи із четвертого, маємо:
переходячи до границі, одержуємо
Таким чином, число е розміщене між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів послідовності, то можна одержати більш точну оцінку значення числа е.
Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828...
Аналогічно можна показати, що 
, розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:
Припустимо: 
Знайдемо 
Число е є основою натурального логарифма.
Вище представлений графік функції y = ln x.
Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
Нехай х = 10 у, тоді ln x = ln10 y, отже ln x = y ln10.
, де М = 1/ln10» 0,43429… – модуль переходу.
Поиск по сайту: