Нескінченно малі функції

Визначення. Функція f (x) називається нескінченно малою при х ® а, де а може бути числом або однією з величин ¥, +¥ або – ¥, якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад. Функція f (x) = xⁿ є нескінченно малою при х ®0 і не є нескінченно малою при х ®1, тому що .

Теорема. Для того, щоб функція f (x) при мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

де – нескінченно мала при ( при .

Властивості нескінченно малих функцій:

1) Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

2) Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

3) Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при .

4) Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2. Представимо , , де

, тоді

A + B = const, – нескінченно мала, значить

Теорему доведено.

Доведення теореми 3. Представимо , , де

, тоді

, і – нескінченно малі, значить

Теорему доведено.

Нескінченно великі функції та їх зв'язок з

Поиск по сайту: