Властивості еквівалентних нескінченно малих

1. a ~ a,
2. Якщо a ~ b і b ~ g, то a ~ g,
3. Якщо a ~ b, то b ~ a,
4. Якщо a ~ a₁ і b ~ b₁ і , то й або .

Наслідки: а) якщо a ~ a₁ і , то й

б) якщо b ~ b₁ і , то

Властивість 4 особливо важливо на практиці, тому що воно фактично означає, що границя відношення нескінченно малих не міняється при заміні їх на еквівалентні нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні границь заміняти нескінченно малі на еквівалентні їм функції, що може сильно спростити обчислення границь.

Приклад. Знайти границю

Оскільки tg5 x ~ 5 x і sin7 x ~ 7 x при , то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, одержимо:

Приклад. Знайти границю .

Тому що при х ®0, то .

Приклад. Знайти границю

Якщо a і b – нескінченно малі при х ® а, причому b – нескінченно мала більше високого порядку, чим a, то g = a + b – нескінченно мала, еквівалентна a. Це можна довести наступною рівністю: .

Тоді кажуть, що a – головна частина нескінченно малої функції g.

Приклад. Функція х ² + х – нескінченно мала при х ®0, х – головна частина цієї функції. Щоб показати це, запишемо a = х ², b = х, тоді

.

Поиск по сайту: