П.2.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Цилиндрическими координатами точки M (x, y, z) называются три числа (r,φ, z), где z – аппликата точки М, а r и φ – полярные координаты проекции точки М (т.е. точки M º(х, у,0)) на плоскости Оху. С декартовыми координатами они связаны соотношениями:, где 0£j<2p, 0£r<+¥, -¥<z<+¥. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам (как и к полярным координатам на плоскости) J = r, в чем не трудно убедиться самостоятельно. Из (4) получаем формулу перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

(5)

Цилиндрические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования содержит следующие поверхности:

а) цилиндр x ²+ y ²= R ², где R - радиус, а уравнение цилиндра принимает вид r = R;

б) конус z ²= x ²+ y², уравнение которого в цилиндрических координатах r = z;

в) параболоид вращения z = x ²+ у ², уравнение которого имеет вид z= r²,

или если подынтегральная функция содержит выражения вида x ²+ y ²= r ²

На практике для расстановки пределов интегрирования в тройном интеграле в цилиндрических координатах поступают так же, как и в декартовых координатах. Область G, уравнения границ которой переведены в цилиндрические координаты, проектируется на плоскость Оху в область D, а в области D вводятся полярные координаты.

Пример 1: Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить тройной интеграл, где G - объем, ограниченный цилиндром x ²+ y ²=1 и плоскостями x + y + z =2 и z =0.

Решение: Вцилиндрических координатах уравнение цилиндра имеет вид r =1, уравнение наклонной плоскости – r (cos φ +sin φ)+ z =2, а подынтегральная функция равна r ². Область G ограничена снизу координатной плоскостью z =0, а сверху – наклонной плоскостью z =2-(cos φ +sin φ) (рис.8). Проекцией области G на плоскость Оху является круг единичного радиуса, граница которого r =1. Поэтому область D

Рис.8 задается неравенствами. В итоге получаем:

Пример 2. Вычислить, если область G ограничена плоскостями у =0, z =0, z = a и цилиндром x ²+ y ²=2 x.

Решение: Очевидно, что область G – часть цилиндра, лежащего в первом октанте и заключенного между плоскостями z =0 и z = a (рис.9). Его уравнение в цилиндрических координатах имеет вид r =2cos φ, а подынтегральная функция равна zr. Проекцией области G на плоскость Оху является половина круга единичного радиуса с центром на оси Ох в точке (1,0), находящаяся в первой четверти. Уравнение границы круга имеет вид r =2cos φ, а область D задается неравенствами:

Рис.9 Рис.10

Пример 3: Вычислить тройной интеграл, где область G ограничена плоскостью у =2 и параболоидом 2 у = x ²+ z².

Решение: Область G (рис.10) ограничена «справа» плоскостью у =2, а «слева» – поверхностью параболоида 2 у = x ²+ z², Эта область проектируется в область D плоскости Охz, ограниченную окружностью x ²+ z²=4. Последнее уравнение является линией пересечения плоскости у =2 и параболоида 2 у = x ²+ z². Введем цилиндрические координаты x = r cos φ, z = r sin φ, y = y и уравнение параболоида принимает вид у = r ²/2. Область D задается неравенствами. С учетом вышесказанного получаем

.

Пример 4: Вычислить интеграл, переходя к цилиндрическим координатам.

Решение: Как указывалось выше, пределы интегрирования в декартовых и цилиндрических координатах расставляются аналогично, поэтому внешние два интеграла определяют двойной интеграл по области D, а внутренний интеграл вычисляется от нижней границы области G (конуса) до ее верхней границы (плоскости z =1). Переведем уравнения границы области G в цилиндрические координаты, а в области D перейдем к полярным координатам. Из первых двух интегралов определяем, что область D – это половина круга, лежащая в первой и четвертой четвертях, т.к. х меняется от 0 до 1. Поэтому в полярных координатах область D имеет вид:.

Замечание: В более общем случае может быть использована следующая замена:

, здесь a и b – параметры. В этом случае J = abr.

Поиск по сайту: