Прості числа-близнята

Прості числа-близнятя – числа, різниця між якими дорівнює 2.

Між двома простими числами можуть знаходитися мільйони і мільярди складених чисел або лише одне, бо це найкоротша відстань між простими числами, за виключенням 2 і 3,так як прості числа ніколи не слідують один за одним. Цей факт був використаний у вигляді метафори в назві книги Паоло Джордано «Самотність простих чисел». В одному з романів ця метафора була описана більш детально: «В університеті на одній з лекцій Маттіа дізнався, що серед простих чисел є особливі. Математики називають їх парними або числами-близнятами. Це пари простих чисел, які стоять майже поруч, тому що між ними завжди виявляється інше число, яке заважає їм по-справжньому доторкнутися один до одного. Наприклад, це числа 11 і 13, 17 і 19, 41 і 43, Маттіа думав, що вони з Аліче – ось такі числа-близнята, самотні і загублені, разом, але недостатньо близькі, щоб по-справжньому доторкнутися один до одного».

В першій сотні натуральних чисел ми зможемо знайти наступні пари чисел, з різницею 2: 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31, 41 і 43, 59 і 61, 71 і 73.

Такі «парні» числа можуть бути описані виразом (p,p+2), де p – просте число.

Нижче я наведу список усіх простих чисел-близнят з першої тисячі:

3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31, 41 і 43, 59 і 61, 71 і 73, 101 і 103, 107 і 109, 137 і 139, 149 і 151, 179 і 181, 191 і 193, 179 і 181, 191 і 193, 197 і 199, 227 і 229, 239 і 241, 269 і 271, 281 і 283, 311 і 313, 347 і 349, 419 і 421, 431 і 433, 461 і 463, 521 і 523, 569 і 571, 599 і 601, 617 і 619, 641 і 643, 659 і 661, 809 і 811, 821 і 823, 827 і 829, 857 і 859, 881 і 883.

Ми знаємо, що прості числа-близнята зустрічаються все рідше і рідше. Проте комп’ютерні розрахунки показують, що вони продовжують зустрічатися навіть серед незвичайно великих чисел. А так як існує нескінченна кількість простих чисел, можна висунути гіпотезу, що існує незліченна кількість простих чисел-близнят, але цього ще нікому не вдалося довести.

Найбільшою парою чисел-близнят вважають 65516468355 -1 і 65516468 +1. Найбільш вражаючим є те, що кожне число складається з 100355 цифр! Цю пару чисел відкрили 2009 року.

Ще одна чудова група простих чисел, яка зустрічається в першій сотні натурального ряду, містить три такі числа: 3, 5, 7.Вони можуть бути записані як (р,р+2,р+4), де р- просте число. Ця група простих чисел складається з так званих «трійок».

1.4.Прості числа Мерсенна.

Числа Мерсенна– це числа виду , де p – довільне ціле число, зване показником. Ці числа вабили математиків з найдавніших часів, орієнтовно з Евкліда (приблизно 300 рік до нашої ери), правда, до XVI століття вчені вважали, що всі ці числа прості, тобто діляться тільки на себе і одиницю. Це, звичайно ж, неправильно – досить поглянути на четверте число Мерсенна: воно дорівнює 15 і подається у вигляді добутку 3 і 5.

Мабуть, першим, хто помітив, що не всі числа Мерсенна з простими показниками (відомо, що для складених показників число Мерсенна не може бути простим) є простими, був Худальрікус Регіус в 1536 році. Він показав, що при p = 11 число, що вийшло – це 2047 – виявляється складеним, оскільки подається у вигляді добутку 23 і 89.

У XVII столітті пошук простих чисел Мерсенна став досить популярною серед математиків розвагою. У 1640р. до вивчення цих чисел підключився знаменитий П'єр Ферма – він показав, що роботи його попередників, в яких затверджувалася простота чисел для p = 23 і p = 37, були помилкові. Але взагалі, Ферма не унікальний у своєму інтересі до цього предмету. В історії цих чисел відзначилися багато відомих учених: Ейлер, Паскаль, Галілео, Гюйгенс. Ім'я ж своє числа Мерсенна отримали на честь французького ченця Марена Мерсенна, філософа, теолога і математика. Він натрапив на ці числа в пошуках універсальної формули, яка дозволяла б перераховувати всі прості числа. У 1648 році він випустив працю Cogitata Physica-Mathematica, в якій висловив припущення, що числа виду -1 повинні бути простими для показників 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 і складеними для всіх інших цілих чисел, що не перевищують 257. Звідки взялася така гіпотеза, достовірно невідомо – сучасники вагаються, що Мерсенн міг розібрати всі ці випадки вручну, та й він сам, кажуть, це визнавав. Втім, ця гіпотеза стала популярною вже після смерті автора. Так часто буває з деякими математичними твердженнями – по абсолютно незрозумілій причині вони опиняються в центрі уваги безлічі математиків. Можливо, на руку їй зіграла, як і у випадку з легендарною теоремою Ферма, простота формулювання. Як би там не було, але з рядом Мерсенна вчені розібралися тільки в середині XX століття – тоді вони встановили, що список показників, які дають прості числа Мерсенна і не перевищуючих 257, виглядає наступним чином: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 і 127. Це і є перші 12 простих чисел Мерсенна. До речі, простоту числа Мерсенна для показника 61 (воно дорівнює 2 305 843 009 213 693 951) довів російський математик Іван Первушин в 1878 році.

Марен Мерсенн протягом першої половини XVII століття був по суті координатором наукового життя Європи, ведучи активну переписку практично з усіма видатними вченими того часу. Це листування має величезну наукову та історичну цінність. Мерсенн має також серйозні особисті наукові заслуги в галузі математики, акустики та теорії музики.

Таблиці Гаусса

Ми вже знаємо, що перший десяток вміщує в собі чотири простих числа (2, 3, 5, 7). В першій сотні міститься 25 простих чисел. Для визначення цієї кількості Гаусс ввів наступну функцію, яку він позначив :

кількість простих чисел, менших, ніж х;

Символ, який використовується в цій формулі, більш відоме як число пі, але в даному контексті він не має цього математичного змісту. Потім Гаусс побудував таблицю з двома стовпчиками. В лівому він записав степені числа 10, а в правому – значення функції (див. додаток 1, таблиця 1).

Зрозуміло, що число буде збільшуватися, але як саме, ми не знаємо. Додамо до таблиці ще один стовпчик, що показує частку простих чисел, менших заданого числа. Для цього вирахуємо відношення .

Ми знаємо, що є 168простих чисел, менших 1000. Їх частку становить

Це число говорить нам, що 16,8% чисел між 1 і 1000 є простими. Інші 83,2% являють собою складені числа. Додамо цей третій стовпчик в таблицю (див. додаток 1, таблиця 2).

Ми бачимо, що доля простих чисел зменшується. Це важливий, хоч і досить передбачуваний факт. Число є простим, коли воно не ділиться на жодне число з тих, які підуть перед ним. Наприклад, щоб число 11 було простим, воно не повинно ділитися ні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ні на 10. Але Гаусс, звичайно, не думав, що звідси випливає, що прості числа в кінці кінців, закінчаться, так як прекрасно знав про існування основної теореми алгебри, за допомогою якої Евклід довів, що кількість простих чисел нескінченна.

У Гаусса третій стовпчик таблиці містив не значення , а обернені їм (див. додаток 1, таблиця 3).

На цій таблиці видно, що, наприклад, серед перших ста чисел одне із чотирьох – просте, а в першій тисячі – одне із шести, і так далі. Це звичайно приблизна оцінка. Таблиця не гарантує, що серед першої сотні кожне четверте число – просте, що можна легко перевірити за допомогою решета Ератосфена. Таким чином, наведена вище таблиця лише вказує приблизну вірогідну відстань між простими числами.

Поиск по сайту: