Прості числа в криптографії

"Прості числа дуже цікаві не тільки математикам, але і звичайним людям, тому що вони застосовуються в криптографії, наприклад, для банківських кодів. Всі вони засновані на великих простих числах. Чим більше просте число, тим стійкіший шифр. Тому є великий інтерес до них", - пояснив РІА Новини співробітника Математичного інституту імені Стеклова РАН (МІАН) Микола Андрєєв. "Числа Мерсенна – це один з хороших способів одержання великих простих чисел, тому їх вивчають. Для практичних застосувань не важливо, чи є просте число числом Мерсенна, але математикам так простіше знаходити прості числа, там більш прості алгоритми".

Схема, що ілюструє алгоритм Діффі-Хелльмана. Маємо два абонента, Аліса і Боб, які бажають спілкуватися таємно. Вони відкрито домовляються про два числа (просте число р і друге число е, яке має певні властивості). І Аліса, і Боб виконують деякі операції з цими числами і ще з одним цілим числом, яке вони тримають в секреті, а потім відкрито повідомляють один одному результати. Тепер Аліса і Боб виконують з отриманим результатом ще одну операцію і отримують одну й ту саму відповідь, котра буде для них секретним кодом. Потенціальний шпіон, перехопивши результати, які послали Аліса і Боб, не може згенерувати секретний код, маючи лише цю інформацію.

Електроннапошта,банківські операції, кредитні карти і мобільний телефонний зв'язок– це все захищено секретними кодами, безпосередньо основаними на властивостях простих чисел.

2.4. Прості числа і народні прикмети

Говорячи про забобони, абсолютно неможливо обійтися без згадки чисел. Класичний приклад прикмет, пов'язаних з ними, - це відношення до так званої чортової дюжини, числа 13. Є навіть люди, які бачать в 13 найщасливіше число! Європейці, так бояться цього числа, що навіть викорінили у себе таке явище, як 13-й поверх і 13-й номер у готелях в деяких лікарнях немає тринадцятої палати.

. Звідки ж взялося таке стійко негативне ставлення до13? Вся справа в тому, під час Таємної вечері за столом опинилися 13 осіб – Ісус Христос і 12 апостолів. Що послідувало за цим заходом, всім добре відомо. Якщо за столом збирається 13 осіб, то й донині це розцінюється як погана прикмета. Вважається, що один з них за поточний рік помре. Найбільшому ризику піддаються перші й останні, ті що встають із-за столу. Упередження пов'язано було також і з тим, що в окремих народів була дванадцяткова система числення, а не десяткова. Число 12 закривало дюжину, а 13, перебуваючи за гранню звичних понять, з самого початку було приречене на народну антипатію.

Також, люди бояться не стільки самого числа 13, а й такої дати в календарі – п’ятниця 13. Віра в жахливий день, п’ятницю 13-е, імовірно з’явилася з вільного трактування Старого заповіту. Нібито саме в цей день Каїн убив свого брата Авеля. З часом ця легенда обросла величезною кількістю домислів, що перетворили цифру 13 в жахливий знак бід і нещасть. З часом боязнь 13 тільки посилилася. Так, наприклад, Франклін Рузвельт ніколи не подорожував 13-го числа.

Цифра 2 має декілька символічних значень. З нею пов'язується поява у Всесвіті такої матерії, як первинне зло. Серед символічних імен цієї цифри – зло, зухвалість, нестабільність, морок, помилка, дух. Крім того, двійку називають ще символом невігластва.

Три – число, приносить удачу. Наш народ шанує Святу Трійцю – Отця, Сина і Святого Духа – і вважає трійку числом магічним, оскільки ним можна охопити всю тріаду, що символізує земний шлях людини: народження, життя, смерть. Можливо, з цим пов'язане використання в різних змовах і молитвах триразове повторення деяких слів і фраз.

Число п'ять з'явилося в результаті об'єднання 2 і 3 – парного і непарного чисел. Воно є символом усього вищого і всього, що відноситься до нижчого.

Крім трійки, щасливим числом є сім. Оскільки його можна подати сумою доданків 2 і 5 та 3 і 4, то сімку називають абсолютним числом, числом усіх символів. Сім є символом могутності духу і присутній у багатьох проявах нашого життя. Перш за все, сам Бог після шести днів праці по створенню Землі призначив сьомий день часом для відпочинку. Саме звідси бере початок традиція ділити час на тижні, останній день, з яких повинен бути звільнений від роботи і відданий душевно корисних занять. Число сім міцно влаштувалося в фольклорі, наприклад, в приказках - «Семеро одного не чекають», «Сім разів відмір – один раз відріж» і т.п.

2.5. Вплив простих чисел на долі людей та використання простих чисел в живописі

Нумерологія – це давня і цікава наука, яка дозволяє визначити не тільки психологічний портрет особистості, а й дізнатися багато чого про здоров'я, талантах, майбутнє. Ще Піфагор помітив: "Весь світ заснований на числах". Ця наука може розповісти про майбутнє, допоможе розпізнати себе. Я вірю, що кожна цифра в даті народження людини має своє значення. Ми можемо з'ясувати, як впливає дата народження на характер людини. Для цього потрібно виписати всі цифри з дати, місяця та року свого народження і додати їх,потім, якщо утвориться 10 або більше, додати і ці цифри. Цей процес продовжувати, до того часу, доти не отримаємо елементарне число від 1 до 9. Наприклад, ми маємо дату народження 10 вересня 1939 рік (10.09.1939 р.), проводимо розрахунки: 1+0+0+9+1+9+3+9=32, як ми бачимо,сума цифр дорівнює двохзначному числу, отже, цю процедуру потрібно повторити: 3+2=5.

Число 5 символізує повну ентузіазму натуру. Ці люди рухливі, люблять подорожі і скрізь відчувають себе, як вдома, при усіх труднощах, вони виходять сухими з води.

Число 2 символізує рівновагу в настрої, поведінці, діях, м’якість і тактичність характеру. Ці люди повинні приймати всі обставини такими, якими вони є, пристовосуватися до них і змирятися з ними.

Число 3 символізує гострий та інтуїтивний розум, здібність швидко і легко засвоювати знання. Людина талановита, здібна. Життя, як таке, вони сприймають не так серйозно. Вони живуть тільки одним днем. Майбутнє їх не цікавить.

Число 7 символізує старанність, з цим числом народжуються і виховуються композитори і музиканти, літератори і поети.

Для побудови хорошої композиції художники епохи класицизму створювали основу картини найчастіше на основи трикутників із сторонами, пропорційними трійці простих чисел (див. додаток 5).

ВИСНОВКИ

Прості числа мають багато цікавих властивостей. Наприклад, різниця деяких простих чисел дорівнює 2, тому вони будуть числами-близнятами. Прості числа становлять одну із найважливіших тем, яка повертає нас до самого початку математики, а потім, по мірі зростання важкості, приводять на край сучасної науки. Окрім того, що прості числа становлять з себе одну з найцікавіших тем математики, вони дуже корисні в нашому житті. На їхніх властивостях побудовані секретні коди, які захищають електронну пошту, банківські операції, кредитні картки і мобільний телефонний зв’язок.

Прості числа досліджували багато вчених – математиків, вони хотіли віднайти формулу, завдяки якої могли згенерувати прості числа, але жодному не вдалося. Можна сказати, що пошук простих чисел, пошук формули, щоб згенерувати їх – як шкідливий вірус, якщо він захвачує розум математика, то його дуже важко викоренити. Історію простих чисел порівнюють з історією поразок і невдач, але прекрасних невдач, які привели до появи нових теорій, свіжих поглядів і передових рубежів.

Також прості числа важливі не лише в криптографії (банківські операції, кредитні картки, електронна пошта, мобільний телефонний зв’язок), а й самому житті. Вони відграють велику роль у характері людини, особливостях її долі, ставленні до навколишнього світу, суспільства.

Велику роль прості числа займають і в різних прислів’ях, приказках, повір’яхта казках, в яких величезної популярності здобули числа 2, 3, 7 і 13.

Вивчення простих чисел потрібні для розв’язування різноманітних задач, які часто трапляються в завданнях олімпіад, конкурсів та вікторин.

Піфагор був правий: «Світом керують числа».

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Берман Г.Н. Число и наука о нем. – М.; наука,1976

2. Вронский С. Астрология – моепризвание. – М.: «Берегиня», 1993 г.

3. Воробьев Н.Н. Признаки делимости. – М.; наука, 1980

4. Гарднер М. Математическиедосуги. – М.; наука,1980

5. Гальперин Г.А. Просто о простих числах // Квант:1987. - №4

6. ГрасианЭ. Мир математики. Простые числа. Долгая дорога в бесконечность. / Пер. с англ. – М.: Де Агостини, 2014. – 144с.

7. Данхем. В. Ойлер та теорія чисел // У світі математики. – 1998

8. Оре О. Прості числа Ферма // Квант. – 1979 - № 12

9. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.; Мир, 1972

10. Тадеев В.О. Неформальная математика: - Тернополь; Богдан, 2003

11. Ядренко В.М Прості числа // У світі математики. – 1996 – Т.2

ДОДАТКИ

Додаток 1

х
Таблиця 1

х		/х
		0,4
		0,25
		0,168
		0,1229
		0,09592
		0,078498
		0,0664579
		0,05761455
		0,05084753
		0,04550525
Таблиця 2

х		х⁄π(х)
		2,5
		8,1
		10,4
		12,7
		17,4
		19,7
Таблиця 3

Додаток 2

Кістка Ішанго

Додаток 3

Мал. 1 б

Мал.2

Додаток 4

Кертіс Купер

Додаток 5

Живопис

Відгук

Поиск по сайту: