Прості числа та їх місце в математиці

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Департамент освіти і науки Полтавської облдержадміністрації

Полтавське територіальне відділення МАН України

Решетилівське районне наукове товариство учнів «Мала академія наук»

Відділення: математика

Секція: математика

Прості числа

Роботу виконала:

Задорожна Марина Іванівна,

учениця 8-В класу

Решетилівської гімназії

імені І.Л.Олійника

Науковий керівник:

Ігнатенко Катерина Михайлівна,

учитель математики

Решетилівської гімназії

імені І.Л.Олійника

спеціаліст вищої кваліфікаційної

категорії, учитель-методист

Решетилівка - 2014

Тези

Науково - дослідницької роботи «Прості числа»

Автор – Задорожна Марина, учениця 8-В класу Решетилівської гімназії імені І.Л. Олійника, Решетилівського району, Полтавської області.

Науковий керівник – Ігнатенко Катерина Михайлівна, учитель математики Решетилівської гімназії імені І.Л.Олійника Решетилівського району Полтавської області, спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, вчитель – методист.

Мета роботи – розглянути історію відкриття простих чисел, ознайомитися з алгоритмами пошуку простих чисел, з’ясувати, де людина зустрічається в житті з простими числами, показати спроби генерації простих чисел та практичних причин безпосередньо основаних на властивостях простих чисел, систематизувати матеріал, який би міг в подальшому використовуватися для наукової та дослідницької роботи.

Завдання роботи:

· дослідити історію пошуку простих чисел;

· показати, яку роль відіграють прості числа в галузях людської діяльності, в криптографії, в долях людей і т. д.

Структура роботи складається з тез, вступу, основної частини, висновку, списку використаних джерел та додатків. Кожен розділ має підрозділи.

Отриманими результатами роботи є:

· в роботі розглянуто прості числа: близнята, Мерсенна, найпростіші та суперпрості;

· показано знаходження найбільшого простого числа на даний час;

· автор внесла свій вклад у складанні магічних квадратів з підмножини простих чисел.

ЗМІСТ

ВСТУП …………………………………………………………………………..……......4

РОЗДІЛ І. Прості числа та їх місце в математиці……………………………..………..7

1.1. Що таке просте число? Чим воно відрізняється відінших чисел?......................7

1.2. Прості числа:винахід чи відкриття?………………………………………….…...9

1.3. Прості числа-близнята …………………………………………………………...10

1.4. Прості числа Мерсенна …………………………………………………………..11

1.5. Таблиці Гаусса ……………………………………………………………………13

1.6. Найпростіші та суперпрості числа ………………………………………………14

1.7. N-цифрові числа та числа Евкліда ………………………………………………15

РОЗДІЛ ІІ. Навіщо потрібні прості числа?...................................................................16

2.1. Підмножини простих чисел, з яких можна скласти магічні квадрати ………….16

2.2. найбільше просте число на даний час ………………………………………….....17

2.3. Прості числа в криптографії ……………………………………………...………..19

2.4. Прості числа і народні прикмети ………………………………………………….20

2.5. Вплив простих чисел на долю людей та використання простих чисел в живописі………………………………………………………………………………….22

ВИСНОВКИ……………………………………………………………………………...24

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ………………………………………………..25

ДОДАТКИ………………………………………………………………………………..26

ВСТУП

Жодний розділ математики не містить стільки задач сформульованих так просто, що їх зрозуміти може й шестикласник і в той же час розв'язати їх не в змозі протягом тисячоліть найвидатніші математики всього світу. Основна важкість простих чисел в тому, що не можна встановити закону,по якому вони розподілені серед натуральних чисел. Наприклад: дізнатися чому дорівнює 151-е просте число? Єдиний спосіб – перебрати всі числа одне за одним, викреслюючи всі складені числа, винайдений Ератосфеном більше 2000 років тому (Решето Ератосфена). З тих часів жодного нового способу не знайшли. Існує алгоритм перевірки на простоту чисел Мерсенна. Завдяки цьому алгоритму і було знайдено математиками каліфорнійського університету США найбільше на даний час просте число -1,його запис в десятковійсистемі числення складається із 17 425 170 цифр. Якщо його надрукувати шрифтом Times New Roman дванадцятим кеглем, воно розтягнеться приблизно на 50 кілометрів.

Прості числа розподілені дуже не рівномірно. Є числа, які знаходяться через парне число, наприклад 5 і 7, 11 і 13, 217 і 219, такі пари називаються близнятами. Є групи і з трьох простих чисел 3163, 3167, 3169 або 32713, 32717, 32719. В той же час легко знайти відрізки натуральних чисел будь-якої довжини, що не містять жодного простого числа. Тому математики більше схиляються до думки, що не існує формули, яка могла б визначити порядкове просте число. Хоча російський математик І. Шафаревич довів, що існує многочлен від багатьох змінних, значеннями якого є множина простих чисел.

В давнину прості числа називали ще первісними числами, так як згідно основної теореми арифметики, будь-яке складене число можна розкласти на прості множники єдиним способом. Хтось з математиків говорив, що Бог створив прості числа, а все решта справа людського розуму. В своїй роботі будемо розглядати деякі підмножини простих чисел.

Прості числа на протязі всієї історії математики породжували безліч гіпотез. В якомусь змісті можна сказати, що історія простих чисел, являється історією невдач, але прекрасних невдач, котрі з часом привели до появи нових теорій, свіжих поглядів і передових рубежів. В змісті розвитку математики прості числа є джерелом безмірного багатства так як не парадоксально звучить, навіть добре, що ця теорія не до кінця вивчена. І все говорить про те, що така ситуація буде зберігатися довгий час.

В метаморфічному змісті прості числа– як шкідливий вірус: якщо він захвачує розум математика, його дуже важко викоренити. Евклід, Ферма, Ейлер, Гаусс, Риман, Раманужан і багато інших видатних математиків стали його жертвою. Хоча і деяким вдалося більш-менш вилікуватися, але кожен з них страждав нав’язливою ідеєю знайти «чарівну формулу», яка визначає, яке просте число буде слідувати за певним натуральним числом. Проте нікому до сьогодні не вдалося відкрити це правило.

Пошук простих чисел, по крайній мірі великих простих чисел – доволі складна задача, тому що нікому не вдалося знайти ні формули, ні алгоритму, який дозволяє генерувати будь-які прості числа. Але може виникнути логічне питання: «Навіщо потрібно генерувати прості числа?»

На це питання можна дати дві відповіді. Перша з них має теоретичне значення.Спроби генерації простих чисел ведуть до появи нових цікавих інструментів для розрахунків, особливо для комп’ютерних обчислень. Крім цього, наявність великого списку простих чисел дозволяє провіряти теореми, які ще не доведені. Якщо хтось висуває гіпотезу відносно простих чисел, але виявляється, що одне з мільйона число порушує її, так що питання знімається. Це стимулює пошук простих чисел різних видів: простих чисел Мерсенна, чисел-близнят, і т.д. Іноді такий пошук перетворюється у змагання, в якому встановлюються світові рекорди і за перемоги присуджуються великі призи. Але є і інша, практична причина, пов’язана з так званими шифруванням. Електронна пошта, банківські операції, кредитні карти і мобільний телефонний зв'язок – це все захищено секретними кодами, безпосередньо заснованих на властивостях простих чисел.

Як і у всього іншого, у простих чисел також є своя історія: свій початок вони беруть в системах рахунків. Прості числа з’явились в той же час, що і натуральні, але дуже швидко виділились у вигляді особливого набору спеціальних чисел.

Прості числа являють одну із найважливіших тем, яка повертає нас до самого початку математики, а потім по шляху зростання важкості приводить на передній край сучасної науки. Таким чином, було б дуже корисно прослідкувати за цікавою та складною історією простих чисел: як саме вона розвивалась, як були зібрані факти та істини, котрі в сучасний час вважаються загальноприйнятими.

Мета дослідження – підвищення інтересу до математики, дізнатися,яку роль відіграють прості числа у нашому житті.

Об’єкт дослідження – прості числа.

Предмет дослідження – «місця» зустрічі простих чисел у нашому житті.

Методи дослідження – системний і порівняний аналіз літератури з проблеми дослідження.

Робота носить теоретичний характер. В роботі автором досліджена історія пошуку простих чисел, наведено властивості цих чисел, переважна більшість, яких перевірено, описано, де можна зустріти прості числа навколо нас: у прислів’ях, приказках, казках, повір’ях, живописі та ін.

РОЗДІЛ І

Прості числа та їх місце в математиці

Поиск по сайту: