|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод граничних елементівВ даний час все більшу популярність завойовує метод граничних елементів (МГЕ) [ 13, 18, 19, 62, 122 ]. У ньому вдається виключити інтеграли за обсягом тіла і знизити розмірність задачі на одиницю. Рівняння МГЕ можуть бути отримані з виведеного в роз. 7 зворотного інтегрального урівняння теорії пружності, зокрема, зі співвідношення (7.22). Нехай переміщення і напруження визначаються з рішення допоміжної крайової задачі про одиничну зосереджену силу , прикладеної в деякій точці тіла в одному з координатних напрямків, наприклад: (11.32) де М (х, у, z) - точка тіла. Функція (, М) є тривимірною функцією Дірака (13, 18 ], що має властивості (, М)= при , (, М)=0 при , (11.33) У випадку (11.32) зосереджена сила прикладена в точці в напрямку осі у. З аналітичного рішення диференціальних рівнянь рівноваги (7.11) - (7.13) вдається отримати так звані фундаментальні рішення, які відповідають одиничним зосередженим об'ємним силам. Наприклад, для тривимірного ізотропного тіла з модулем зсуву G і коефіцієнтом Пуассона таке рішення було отримано Кельвіном [13, 18, 19, 62, 122]: , (11.34) Де х1=х; х2=у; х3=z; при i=j, при - віддаль між точками і M: (11.35) Рішення (11.34) визначає переміщення uij уздовж осі xi в будь-якій точці тіла М при дії одиничної зосередженої сили в точці уздовж осі xi. Це рішення є сингулярним, тобто прямує до безкінечності, коли точки і М збігаються. За відомим формулами [18,62] можна знайти деформації, напруження і поверхневі зусилля, відповідні фундаментальному рішенню. Наприклад, для зусиль маємо , (11,36) де ni - напрямні косинуси зовнішньої нормалі до поверхні S. Фундаментальні рішення для двовимірних та інших завдань наведені в [13, 18, 19, 62, 122]. Для побудови дискретної схеми МГЕ розглянемо супер-елемент з m граничними вузлами. Будемо вважати, що точка прикладання одиничної зосередженої сили послідовно розглядається в кожному з граничних вузлів. Візьмемо, наприклад, вузол k і сформулюємо наступну матрицю об'ємних сил, яка задає послідовність одиничних сил в точці Мk{xk, yk, zk} які діють уздовж напрямків х, у і z: Використовуючи фундаментальні рішення (11.34), (11.36), легко побудувати матриці - функції:
які визначають переміщення і зусилля в будь-якій точці тіла, відповідні заданим об'ємним силам. Наприклад, є переміщенням в точці (х, у, z) уздовж i-ї осі, що виникає при дії одиничної зосередженої сили в к-му вузлі уздовж j-ї осі. Після підстановки (11.37), (11.38) в (7.22) і використання властивостей функції Дірака (11.33) будемо мати інтегральне співвідношення: , (11.39) де - переміщення k-го вузла; Е3 - одинична матриця третього порядку; - відоме число, яке залежить від виду фундаментального рішення. Розіб'ємо поверхню S суперелементу на безліч граничних елементів простої форми і розглянемо один з них. Наступний крок полягає в побудові апроксимацій для шуканих векторів і . Тут можливі два варіанти. У першому з них ці апроксимації вважаються незалежними одна від одногї, тобто (11.40)
де N {3x3l} - матриця базисних функцій граничного елемента з l вузлами; {u}, {p} - вузлові значення переміщень і поверхневих зусиль. Підстановка цих апроксимацій в (11.39) і обчислення по квадратурних формулах наступних матриць: (11.41) призводить до дискретного рівняння: , (11.42) яке, будучи розглянутим для всіх вузлів супер-елемента, призведе до системи 3 m алгебраїчних рівнянь: H{U) - G{P} ={F) (11.43) щодо векторів вузлових переміщень і зусиль. Для розв'язання цієї системи її потрібно доповнити записаними щодо вузлових змінних граничними умовами в переміщеннях і зусиллях. Для цього зручно розділити вектори {U} і {Р} на частини, які відповідають вузлам кордонів S1 і S2, і врахувати граничні умови: . (11.44) В результаті отримаємо Зm рівнянь щодо такої ж кількості невідомих {U2} і {Р1}. Очевидним шляхом з (11.44) вдається отримати систему лінійних рівнянь меншого порядку щодо {U2}. Другий варіант полягає у використанні взаємозалежних апроксимацій для і з урахуванням (7.18): = N{u}, = CD(RN){u}= L{u}. (11.45) При цьому розв’язна система лінійних рівнянь K{U2}={Q) (11.46) може бути безпосередньо отримана після об'єднання співвідношень (11.47) для всіх граничних елементів та врахування кінематичних граничних умов. З рішення отриманої системи можна знайти шукані граничні переміщення. Переміщення у внутрішніх точках супер-елемента можуть бути знайдені з інтегральних співвідношень, аналогічних виразу (11.39), в якому величини з індексом «k» слід розглядати у даній внутрішній точці. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |