РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА

Сформируем данные в Excel и построим уравнение линейной множественной регрессии. Для этого в пакете Анализ данных выберем Регрессия. Установим диапазоны наших переменных, уровень надежности примем 95%. Вывод итогов регрессионного анализа представлен на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Вывод итогов регрессионного анализа

Уравнение регрессии значимо т.к. Значимость F → 0. Скопируем остатки к сформированным данным.

1) Проверим полученную регрессию на гетероскедастичнсость, используя тест ранговой корреляции Спирмена.

Выдвигается гипотеза Н ₀ о равенстве нулю ранговой корреляции Спирмена r. Выборка упорядочивается по фактору X ₁ и рассчитываются ранги (во втором случае по X ₂, причем ранжирование по e должно быть в порядке убывания).

Рассчитываем уравнение регрессии. В нашем случае:

Ŷ = 0,7575 + 0,018 X ₁ + 0,05 X ₂,

и вычисляются остатки e_t = Y – 0,7575 + 0,018 X ₁ + 0,05 X ₂.

Рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами фактора X ₁ (X ₂) и остатков е:

,

где D_i = разность рангов X и е.

Рассчитаем статистику , распределенную нормально N (0;1) при отсутствии гетероскедастичности, т.е. если |z| < z_кр = 1,96 при уровне значимости α = 0,05. В нашем случае гетероскедастичность в остатках отсутствует. Результаты представлены на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 – Результаты теста ранговой корреляции Спирмена

2) Тест Глейзера основывается на более общих представлениях о зависимости стандартной ошибки случайного члена от значений объясняющей переменной. Например, зависимость может быть представлена в виде: σ_i = b ₀ + b ₁ x_i^γ + ε_i.

Используя абсолютные значения остатков в качестве оценки σ_i оценивают данную регрессионную зависимость при различных значениях γ и выбирают наилучшую из них. Изменяя γ строят несколько моделей: γ =...,
– 1, – 0,5, 0,5, 1, ….

Статистическая значимость коэффициента b ₁ в каждом случае означает наличие гетероскедастичности. Значимость определяется сопоставлением t -статистики с квантилем распределения Стьюдента с n – k – 1 степенями свободы при уровне значимости, равном 0,05. Для этого используем функцию СТЬЮДРАСПОБР(0,05;27). Квантиль Стьюдента будет равен 2,0518. Если | t -статистика| > квантиля распределения Стьюдента, то в остатках присутствует гетероскедастичность.

Если для нескольких моделей будет получена значимая оценка b ₁, то характер гетероскедастичности определяют по наиболее значимой из них.

Данные для теста Глейзера представлены на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 – Данные для теста Глейзера

В нашем случае результаты регрессионных анализов характеризуют наличие гетероскедастичности (таблица 4.1).

Таблица 4.1 – Результаты регрессионного анализа

3) Для проведения теста Голдфелда-Квандта. Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины X₁. Далее отбрасывают среднюю треть упорядоченных наблюдений. Для первой и последней третей строятся две отдельные регрессии, используя ту же спецификацию модели регрессии. Количество наблюдений в этих подвыборках должно быть одинаково. Обозначим его l (в нашем случае l = 10). Берутся суммы квадратов остатков для регрессий по первой трети RSS ₁ и последней трети RSS ₃. Рассчитывают их отношение: GQ = RSS ₃ / RSS ₁.

Используем F -тест для проверки гомоскедастично (если статистика GQ удовлетворяет неравенству GQ > F_{α , l-m -1, l-m -1}), то гипотеза гомоскедастичности остатков отвергается на уровне значимости α.

Итоговые результаты представлены в таблице 4.2.

Таблица 4.2 – Итоговые результаты теста Голдфелда-Квандта

Для коррекции модели на гетероскедастичность применим взвешенный МНК в предположении, что среднее квадратическое отклонение возмущений пропорционально значению фактора Х ₁, для чего масштабируем исходные данные по Х ₁ (рисунок 4.4).

Исходную модель преобразуем в модель . Оцениваем параметры преобразованной модели b ₀, b ₁ и b ₂ обычным методом наименьших квадратов. С помощь MS Excel были определены коэффициенты уравнения регрессии преобразованной модели: b ₁ = 0,017016; b ₀ = 0,953898; b ₂ = -0,00994, и уравнение регрессии примет вид:

(F=257,663719; R²= 0,950214579).

Рисунок 4.4 – Вспомогательный расчет для взвешенного метода наименьших квадратов

Видно, что значения соответствующих параметров уравнений отличаются друг от друга.

Тест Голдфельда-Квандта, примененный к преобразованной модели, выявляет гетероскедастичности ее возмущений: GQ -статистика превышает табличное значение F -критерия Фишера . Следует отметить, что значение GQ -статистики значительно улучшилось в сравнении с предыдущей моделью, что говорит о возможности использования взвешенного метода наименьших квадратов в устранении гетероскедастичности.

Поиск по сайту: