РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. - данные наблюдений Yt даны в таблице 9.1 (столбец Yt);

Исходные данные:

- данные наблюдений Y_t даны в таблице 9.1 (столбец Y_t);

- уровень значимости α = 0,05.

Таблица 9.1 – Данные наблюдений и результаты промежуточных расчетов

Продолжение таблицы 9.1

1) Проверка ряда Y_t на нестационарность. Построим график (t,Y_t) (рисунок 9.1)

Рис. 9.1 – График (t, Y_t)

На рис. 9.1 ясно проглядывается наличие нисходящей тенденции, что говорит о нестационарности временного ряда Y_t.

Проверим нестационарность временного ряда Y_t с помощью теста Дики-Фуллера. Необходимо оценить параметр λ уравнения

Δ Y_t = λ Y_{t -1} + ε_t,

где Δ Y_t = Y_t – Y_{t -1} являются первыми разностями ряда Y_t (таблица 9.1).

Будем использовать программный пакет Matrixer 5.1. Введем два вектора DY = Δ Y_t и Yl = Y_{t -1}, с предварительно рассчитанными значениями (таблица 9.1), наберем в командном окне программы формулу DY: Y1 и нажмем кнопку . Результат показан на рисунке 9.2.

Рисунок 9.2 – Результаты оценки параметра λ

Из рис. 9.2 следует, что λ = -0,0082 и t -статистика равна -1,327 > t _крит =
-1,95 (критическое значение при уровне значимости 0,05). Следовательно, гипотеза о нестационарности не отвергается.

Проверим на нестационарность ряд Δ Y_t, предварительно рассчитав вто­рые последовательные разности Δ² Y_t = Δ Y_t – Δ Y_{t -1} (таблица 9.1). Построим график (t,Δ Y_t) (рисунок 9.3). Анализ рисунка 9.3 показывает, что временной ряд Δ Y_t больше похож на стационарный.

Рисунок 9.3 – График (t, Yt)

Согласно тесту Дики-Фуллера, для оценки параметра λ₁ в уравнении Δ² Y_t = λ₁·Δ Y_{t –1} + ε_{t 1}, введем два вектора D2Y = Δ²Y_t и DY1 = Δ Y_{t –1}, с предварительно рассчитанными значениями (таблица 9.1), наберем в командном окне программы формулу DY: Y1 и нажмем кнопку . Результат показан на рисунке 9.4.

Рисунок 9.4 – Результаты оценки параметра λ₁

Из рис. следует, что λ₁ = –1,068 > 0 и t -статистика равна –7,498 < t _крит = –1,95 (критическое значение при уровне значимости 0,05). Следовательно, гипотеза о нестационарности отвергается.

Таким образом, временной ряд Y_t является интегрируемым первого порядка нестационарным временным рядом.

2) Построение модели нестационарного ряда Y. Построим автокорреляционную и частную автокорреляционную функции. Для этого введем вектор Y со значениями ряда Yt, наберем в командном окне программы формулу «acf! Y &pacf» и нажмем кнопку . Результат показан на рисунке 9.5.

Рисунок 9.5 – Автокорреляционная (а) и частная автокорреляционная (б) функции

Так как, согласно рисунку 9.5, значимо отличается от нуля только коэффициент частной автокорреляции α₁₁ для величины лага 1, т.о. делаем вывод о том, что ряд Y_t является реализацией стохастического процесса ARMA(1,0).

Y_t = α₀ + α₁· Y_{t –1}, с |α₁| > 1.

Для построения модели ARMA(1,0) наберем в командном окне программы формулу «boxjen! (1,0) Y» и нажмем кнопку .

В появившемся окне выбора метода нахождения решения (рисунок 9.6) следует выбрать метод (рисунок 9.7) и нажать кнопку .

Рисунок 9.6 – Окно выбора метода нахождения решения

Рисунок 9.7 – Выбор метода оптимизации

Построение ARMA осуществляется с помощью нелинейного метода наименьших квадратов. Соответствующие процедуры носят итерационный характер и могут продолжаться бесконечно долго, если не достигаются условия окончания процесса по точности получаемого решения. В этом случае следует задавать конечное число шагов итерационного процесса, либо принудительно останавливать процесс решения с помощью кнопки «Результаты» в окне процесса решения рисунке 9.8.

Рисунок 9.8 – Окно процесса решения с помощью нелинейного МНК

Результаты расчета модели ARMA(1,0) показаны на рис. 9.9.

Рисунок 9.9 – Результаты расчета модели ARMA(1,0)

Значимым является только коэффициент при Y_{t –1} (графа «Знач.»).

Для проверки оптимальности модели ARMA(1,0) рассчитаем параметры моделей ARMA(2,0) и ARMA(2,1). Набирая в командном окне программы формулы «boxjen! (2,0) Y» и «boxjen! (2,1) Y» получим (рисунки 9.10 и 9.11):

Рисунок 9.10 – Результаты расчета модели ARMA(2,0)

Рисунок 9.11 – Результаты расчета модели ARMA(2,1)

Значимым в обоих моделях является только коэффициент при Y_{t –1}.

Сведем результаты расчетов параметров моделей ARMA(1,0), ARMA(2,0) и ARMA(2,1) в таблицу 9.2.

Таблица 9.2 – Результаты расчетов параметров моделей ARMA(1,0), ARMA(2,0) и ARMA(2,1)

Значимыми во всех моделях является только коэффициент при Y t–1.

Значения критериев R², Σ ε ², AIC отличаются незначительно, причем для модели ARMA(1,0) значения критериев Σ ε ², AIC минимальны, что говорит об оптимальности модели ARMA(1,0).

Результаты расчетов по модели ARMA(1,0) показаны в таблице 9.1 (последняя графа) и на рисунке 9.12.

Рисунок 9.12 – Результаты расчетов по модели ARMA(1,0)

3) Расчет прогнозных значений по модели Y_t = –10,553 + 1,0049 · Y_{t –1} + ε_t.

Ŷ _Т(1) = –10,553 + 1,0049 Y _T = –10,553 + 1,0049 ·1490 = 1487,

Ŷ _Т(2) = –10,553 + 1,0049 Ŷ _Т(1) = –10,553 + 1,0049 ·1487 = 1483.

Результаты

1) Временной ряд Y_t является интегрируемым первого порядка нестационарным временным рядом.

2) Модель ARMA(1,0)

Y_t = –10,553 + 1,0049 Y_{t –1} + ε_t.

3) Прогнозные значения:

Ŷ _Т(1) = –10,553 + 1,0049 Y _T = –10,553 + 1,0049 ·1490 = 1487,

Ŷ _Т(2) = –10,553 + 1,0049 Ŷ _Т(1) = –10,553 + 1,0049 ·1487 = 1483.

Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ

Основная литература

1. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 480 с.: ил.

2. Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 576 с.: ил.

Дополнительная литература

1. Айвазян С.А., Мхитрян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. – М.: Юнити, 2004.

2. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования: Учеб. пособие. – 2-е, исправленное. – М.: КомКнига, 2006. – 432 с.

3. Берндт Э. Практика эконометрики: классика и современность. – М.: Юнити-Дана, 2005. – 848 с.

4. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – М: Новое знание, 2003.

5. Кулинич Е.И. Эконометрия, – М, «Финансы и статистика», 2002.

6. Нименья И.Н. Эконометрика. – СПб.: Издательский дом «Нева», 2003.

7. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М: Статистика, 2005.

8. Доугерти К. Введение в эконометрику, Учебник – 3-е изд. – М., ООО "Издательский Дом ИНФРА-М", 2010. – 465 с.

Журналы:

1. Прикладная эконометрика. Издательство «Маркет ДС», ISSN 1993-7601

2. Экономика и математические методы. Изд-во ЦЭМИ РАН

Учебно-методическая литература

1. Лабораторная работа. Нахождение характеристик корреляционной зависимости из опыта. – Уфа, 2009.

2. Методическое руководство по проведению практических занятий 1,2 по вычислительной математике (математическая статистика). – Уфа, 2003.

3. Методическое руководство по проведению практических занятий 3,4 по вычислительной математике (математическая статистика). – Уфа, 2003.

Интернет-ресурсы

1. Электронно-библиотечная система образовательных и просветительских изданий: [электронный ресурс]. – URL http://www.iqlib.ru

2. Российское образование. Федеральный портал: [электронный ресурс]. – URL http://www.edu.ru/modules

3. Единое окно доступа к образовательным ресурсам: Информационная система: [электронный ресурс]. – URL http://window.edu.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Поиск по сайту: