РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Даны следующие данные: Значения Y(t) при t

Даны следующие данные:

Для отражения тенденции изменения исследуемого показателя воспользуемся простейшей моделью вида:

Y_p(t) = a₀ + a₁ t (t = 1,2,...,N).

Параметры кривой роста оцениваются по методу наименьших квадратов (МНК).

Для линейной модели:

a₁ = ∑ [ (t - t_ср) (Y(t) - Y_ср) ]: ∑ (t - t_ср)²,

a₀ = Y_ср - a₁ t_ср,

t_ср - среднее значение фактора времени;

Y_ср - среднее значение исследуемого показателя.

Примечание:

В Excel математическое ожидание (среднее значение) определяется с помощью функции СРЗНАЧ (значения чисел) в категории Статистические.

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое σ(x), определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Заметим, что в Excel эта величина называется стандартное отклонение - СТАНДОТКЛОН (значения чисел) по зависимости.

По данным о курсе акций за девять недель построим линейную модель.

Таблица 6.1 – Оценка параметров уравнения прямой

Y_cp = 56; t_cp = 5

a ₁ = 7,13

a ₀ = 20,33

Таким образом линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = 20,33 + 7,13 t (t = 1,2,...,9).

Отклонения расчетных значений от фактических наблюдений вычисляются как

E(t) = Y(t) – Y_p(t), t = 1,2,...,9.

Необходимо оценить качество модели, исследовав ее адекватность и точность.

Качество моделиопределяется ее адекватностью исследуемому процессу, которая характеризуется выполнением определенных статистических свойств, и точностью, т.е. степенью близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения и равенства нулю средней ошибки.

Результаты исследования адекватности отражены в таблице 6.2.

Таблица 6.2 – Оценка адекватности модели

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек «р». В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть числа (не путать с процедурой округления!). При N = 9 в правой части неравенства имеем: [2,41] = 2. Следовательно, свойство случайности выполняется.

При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d-критерия Дарбина - Уотсона, в соответствии с которым определяется коэффициент d:

Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями: нижним d ₁= 1,08 и верхним d ₂ = 1,36.

d = 1,31, т.к. d ₁ < d < d ₂ - то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев, например, первого коэффициента автокорреляции r (1), который вычисляется по формуле:

Если r(1) > r (табл.) (при N < 15 r (табл) = 0,36), то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается.

r (1) = 0,15.

Следовательно, по этому критерию также подтверждается выполнение свойства независимости уровней остаточной компоненты.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS = (E_max – E_min): S,

где E_max – максимальный уровень ряда остатков;

E_min – минимальный уровень ряда остатков;

S – среднее квадратическое отклонение.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N = 10 и 5%-го уровня значимости этот интервал равен (2,7 – 3,7).

В нашем примере: E_max = 3,87и E_min = –3,53.

= 2,47.

RS = 2,99.

Расчетное значение попадает в интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется, что позволяет строить доверительный интервал прогноза.

Для характеристики точности воспользуемся среднеквадратическим отклонением и средней относительной ошибкой:

=3,78

Ее величина не более 5% свидетельствует о достаточном уровне точности модели (ошибка в 10 и более процентов является очень большой).

Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра t= N+ 1 ,..., N+k. При прогнозировании на два шага имеем:

Y_p (10) = 20,33 + 7,13 * 10 = 91,67 (k = 1, t = 10),

Y_p (11) = 20,33 + 7,13 * 11 = 98,80 (k = 2, t = 11).

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза = Y_p (N + k) + U (k),

Нижняя граница прогноза = Y_p (N + k)– U (k).

Величина U (k) для линейной модели имеет вид:

.

Коэффициент K_p является табличным значением t -статистики Стьюдента. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равный 70%, то K_p = 1,05.

U (1) = 3,21.

U (2) = 3,40.

Таблица 6.3 – Прогнозные оценки по линейной модели

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами. В нашем случае такое утверждение правомерно из-за полной адекватности модели.

На рисунке 6.1 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по линейной модели.

Рисунок 6.1 – Результаты аппроксимации и прогнозирования по линейной модели

Поиск по сайту: