ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН,ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ

Случайная величина характеризуется тем, что под воздействием случайных факторов она может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные друг от друга значения, и непрерывной, если множество ее значений непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток.

Дискретную случайную величину, число возможных значений которой конечно, обычно представляют в виде ряда распределения, состоящего из пары чисел, одно из которых – значение величины, другое – вероятность появления этого значения, при этом сумма вероятностей появления всех значений равна 1.

Характеристикой непрерывной случайной величины является функция распределения, указывающая вероятность того, что эта случайная величина принимает значение, меньше заданной величины. Всему диапазону изменения случайной величины соответствует единичное значение функции распределения.

К основным числовым характеристикам случайных величин относятся математическое ожидание (наиболее вероятное ожидаемое значение), дисперсия (вариация) и среднеквадратическое отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности:

,

где:

математическое ожидание случайной величины ;

- е значение случайной величины ;

вероятность появления - го значение случайной величины ;

порядковый номер дискретного значения случайной величины ;

общее число дискретных значений случайной величины .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл:

,

где:

плотность распределения случайной величины , представляющая собой производную по функции распределения случайной величины ;

интеграл, который берется на всем интервале, в котором определена случайная величина ;

дифференциал случайной величины .

Для большого числа случайных величин, с которыми имеют дело в эконометрике, предполагается нормальное или близкое к нему распределение. Для случайной величины (), имеющей нормальное распределение, математическое ожидание равно среднему значению генеральной совокупности.

Теоретическая (генеральная) дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины относительно ее математического ожидания:

.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины , характеризующее степень отклонения в среднем случайной величины в совокупности от своего среднего значения, представляет собой корень квадратный из ее дисперсии:

.

Данные о случайных величинах, которые используются в эконометрическом анализе, обычно представляются ограниченной выборкой, математическое ожидание которой оценивается выборочной средней, т.е. средним арифметическим значений случайной величины в выборке:

,

где:

выборочная средняя,

- е значение случайной величины ,

порядковый номер выборочного значения случайной величины ,

общее число данных в выборке.

Выборочная дисперсия (вариация) представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений случайной величины от среднего значения:

.

Выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины представляет собой корень квадратный из выборочной дисперсии:

.

Характеристики генеральной совокупности (т.е. всего возможного набора показателей) обычно неизвестны, поэтому они оцениваются на основе характеристик выборочной совокупности (т.е. ограниченного числа значений показателей). Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной совокупности – оценками. Чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности.

Несмещенность является желательным свойством, так как только в этом случае они могут иметь практическую значимость. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. математическое ожидание остатков равно нулю. Например, выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности – генеральной средней :

.

Итак, если несмещенность имеет место, то при большом числе полученных выборочных оценок искомого параметра остатки не будут накапливаться, и потому найденный параметр регрессии можно рассматривать как среднее значение из возможно большого количества несмещенных оценок. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным выборкам.

Оценку, не являющуюся несмещенной, называют смещенной. Например, выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. В качестве несмещенной оценки этой дисперсии используется уточненная величина (исправленная дисперсия):

,

где:

несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности;

несмещенная оценка стандартного отклонения генеральной совокупности;

число измерений в выборке;

- е значение измеренного показателя в выборке;

порядковый номер измерения.

Для практических целей важна не только несмещенность, но и эффективность оценок. Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками. Поэтому несмещенность оценки должна дополняться минимальной дисперсией. В практических исследованиях это означает возможность перехода от точечного оценивания к интервальному. Пример: выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней, так как она имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

Степень реалистичности доверительных интервалов параметров регрессии обеспечивается, если оценки будут не только несмещенными и эффективными, но и состоятельными.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки (т.е. если ) она стремится к оцениваемому параметру. Примером состоятельной оценки математического ожидания генеральной совокупности (генеральной средней ) является выборочное среднее .

Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки. Большой практический интерес представляют те результаты регрессии, для которых доверительный интервал ожидаемого значения параметра регрессии имеет предел значений вероятности, равный единице. Иными словами, вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного значения параметра близка к единице.

Меру связи между двумя случайными величинами и характеризуют выборочная ковариация и коэффициент корреляции. Выборочной ковариацией двух случайных величин и называется среднее арифметическое произведений отклонений значений этих величин от своих выборочных средних:

,

где:

ковариация случайных величин и ;

и -е значения случайных величин и ;

и средние значения случайных величин и ;

порядковый номер дискретного значения пар случайных величин и ;

общее число дискретных значений пар случайных величин и .

Коэффициент корреляции определяется выражением:

,

где:

ковариация случайных величин и ;

и вариации случайных величин и ;

и стандартные отклонения случайных величин и .

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных:

при положительной связи и при строгой положительной линейной связи;

при отрицательной связи и при строгой отрицательной линейной связи;

при отсутствии линейной связи.

Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если . Независимые случайные величины и всегда некоррелированные (т.е. ), но из некоррелированности случайных величин и не следует их независимость. Некоррелированность указывает лишь на отсутствие линейной связи между переменными, но не на отсутствие связи между ними вообще.

Поиск по сайту: