Оценка параметров модели парной линейной регрессии

Моделью парной линейной регрессии называют уравнение вида:

Название парной данная модель получила в силу того, что в ней содержатся лишь две переменные: зависимая или результатирующая переменная y и независимая или факторная переменная x. Модель называется линейной, поскольку при ее спецификации используется линейная функция (уравнение прямой).

Величины являются параметрами модели.

Параметр называют коэффициентом регрессии. Он характеризует среднее изменение результата y при изменении фактора x на единицу.

Параметр называют свободным членом. Он характеризует значение результата y при нулевом значении фактора x. Следует отметить, что не всегда эта величина имеет экономический смысл, в частности невозможно интерпретировать значение если фактор x в принципе не может обращаться в ноль. Содержательной интерпретации поддается знак параметра , так если он положительный, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, при этом справедливо и обратное утверждение.

Графически параметры модели парной линейной регрессии можно представить следующим образом:

Рис. 2.2.1. Графическое представление модели

парной линейной регрессии

Мы видим, что параметр определяет смещение по вертикали линии регрессии, задаваемой уравнением . В свою очередь, параметр равен тангенсу угла α между линией регрессии и осью абсцисс. Параметр часто называют угловым коэффициентом.

Ошибки регрессии ε представляют собой разницу ординат точек соответствующих фактическим значением переменной y и лежащих на линии регрессии при одних и тех же значениях фактора x. Значение ошибки для конкретного наблюдения можно определить по формуле:

.

Для нахождения оценок (приближенных значений) параметров модели регрессии необходимо выбрать критерий, по которому мы будем определять их оптимальность. Наиболее распространенными являются следующие критерии:

1. Критерий суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной (y) от ее теоретических или расчетных значений ():

Достоинствами данного критерия выступают простота вычислительных процедур и доступность математических выводов, в то время как основным недостатком – излишняя чувствительность оценок параметров к выбросам в исходных данных.

2. Критерий суммы модулей отклонений фактических значений зависимой переменной (y) от ее теоретических или расчетных значений ():

3.

Преимуществом данного критерия является устойчивость к резким выбросам в исходных данных, а недостатком – сложности в процессе вычислений.

4. Критерий суммы отклонений фактических значений зависимой переменной (y) от ее теоретических или расчетных значений () с учетом заданных весов g:

Для задания весов g может использоваться функция Хубера:

где с – ограничение функции.

Данная функция при небольших значениях регрессионных остатков является квадратичной, а при больших – линейной.

Наиболее распространенным критерием, используемым при оценке параметров модели регрессии является критерий суммы квадратов отклонений, а метод оценки параметров основанный на его использовании называется методом наименьших квадратов (МНК).

Содержание МНК состоит в нахождении оценок неизвестных параметров () минимизирующих функцию:

Учитывая, что получим следующее выражение:

Для нахождения минимума функции F необходимо определить и прировнять к нулю частные производные функции по

Приведенное выражение сводится к системе нормальных уравнений, имеющей следующий вид:

Решением системы нормальных уравнений являются оценки параметров модели регрессии, рассчитываемые по следующим формулам:

Таким образом, при заданной спецификации модели значения оценок ее параметров зависят, во-первых, от выбранного критерия оптимизации, а, во-вторых, от числовых характеристик выборки из генеральной совокупности ( используемых при расчетах.

Эконометрика имеет дело с выборочными данными. Даже если используемые данные охватывают всю совокупность наблюдений, доступных для анализа, то реализация эконометрических задач, а именно имитации и прогноза, неизбежно предполагает выход за границы имеющихся наблюдений. Поэтому при заданном критерии оптимизации (в качестве которого мы будем использовать МНК) число оценок параметров равно числу возможных выборок из генеральной совокупности.

Пример 2.4. Рассмотрим расчет оценок параметров модели парной линейной регрессии на примере данных о среднедушевых денежных доходах населения и среднемесячном обороте розничной торговли на душу населения регионов центрального федерального округа Российской Федерации за 2010 г. с учетом устранения выбросов. Для удобства вычислений составим рабочую таблицу (таблица 2.2.1).

Таким образом, модель регрессии примет вид:

Таблица 2.2.1

Данные для расчета оценок параметров модели парной линейной регрессии оборота розничной торговли по величине

денежных доходов населения

Графическое изображение линии регрессии представлено на рисунке 2.2.1.

Рис. 2.2.1. Линия регрессии оборота розничной торговли на душу населения по величине среднедушевых денежных доходов населения

Параметр , оценка которого составила -0,29, в нашем примере не будет иметь экономического смысла, поскольку фактор x (доходы населения региона) не может принимать нулевое значение. В то же время отрицательный знак параметра показывает, что изменение результата (оборота розничной торговли) происходит быстрее, чем изменение названного фактора.

Параметр , оценка которого составила 0,54, свидетельствует о том, что при изменении доходов населения на 1 руб. (тыс. руб.), среднее изменение оборота розничной торговли составит 0,54 руб. (тыс. руб.).

Расчет оценки коэффициента регрессии возможен также на основе значения выборочного коэффициента корреляции:

Относительное изменение результативной переменной при изменении факторной переменной на 1% характеризует коэффициент эластичности:

где - первая производная функции .

Учитывая, что для линейной функции равен , коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии можно рассчитать по формуле:

Поскольку коэффициент эластичности линейной функции не является постоянной величиной, так как зависит от значений переменной x, на практике обычно рассчитывают средний коэффициент эластичности который показывает на сколько процентов в среднем изменится значение результативной переменной y при изменении факторной переменной x на 1%:

Расчет коэффициента эластичности не имеет экономического смысла в том случае когда нецелесообразно измерять изменение исследуемых переменных при помощи темпов прироста (например возраст человека, число членов семьи, стаж работы и т.п.).

Пример 2.5. В нашем примере средний коэффициент эластичности равен:

Таким образом при изменении среднедушевых денежных доходов населения на 1%, оборот розничной торговли на душу населения в среднем изменяется на 1,04%.

Поиск по сайту: