Тема: Нелинейная регрессия

Часто в экономических исследованиях возникают ситуации, в которых количественная связь между переменными оказывается нелинейной и для ее описания используются соответствующие нелинейные функции.

Если между результативным и факторным признаком существует нелинейная зависимость, то она выражается с помощью соответствующих нелинейных функций.

Для описания нелинейной связи между X и Y используют следующие виды функций:

1) параболическая ;

2) кубическая парабола ;

3) гиперболическая ;

4) логарифмическая ;

5) степенная ;

6) показательная ;

7) экспоненциальная ;

8) логистическая ;

и некоторое другие.

Здесь , ,… – неизвестные параметры (коэффициенты регрессии), подлежащие определению. Необходимо подобрать значения этих параметров, обеспечивающие наилучшее приближение теоретической функцией эмпирических данных.

Различают два подхода для оценки параметров нелинейной модели, поэтому при линеаризации имеем:

3. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней – , ;

– равносторонняя гипербола – ;

– полулогарифмическая функция – .

4. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная – ;

– показательная – ;

– экспоненциальная – .

Линеаризация регрессионных моделей осуществляется путем простой замены нелинейных факторов переменных на линейные, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

1. Парабола второй степени (1)

приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению множественной регрессии . Однако для параболы второй степени можно использовать МНК исходя из исходного уравнения (1):

S = ,

а после преобразований получим систему уравнений:

(2)

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: в экономике труда при узучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста, зависимость объема выпуска продукции от затрат на производство, зависимость урожайности от количества внесенных удобрений.

2. В классе нелинейных функций в эконометрике широко используется равносторонняя гипербола , которая может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы. Используя замену и МНК система нормальных уравнений имеет вид:

(3)

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.

3.Регрессия нелинейная по оцениваемым параметрам, делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция – , показательная – , экспоненциальная – , логистическая – , обратная – .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели: , .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

;

;

,

где , тогда используя МНК, а далее

потенцирование, находится искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности.

Если коэффициенты регрессии входят в регрессионную модель линейно, то метод наименьших квадратов приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. В противном случае – к нелинейной системе уравнений.

Так в случае выбора теоретической функции в виде полинома k- й степени (функция линейна относительно параметров), исходя из критерия метода наименьших квадратов.

min,

(вычисляя и приравнивая нулю частные производные , j=0,1,…,k).

В случае параболической регрессионной модели коэффициенты регрессии определяются из системы линейных уравнений(2).

Если модель нелинейная относительно параметров регрессии, то она в ряде случаев с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду:

.

Если же модель не может быть приведена к линейному виду, то для оценки параметров в этом случае приходиться решать системы нелинейных уравнений, используя итерационные методы. В этом случае успех в нахождении параметров регрессии от сложности полученной системы.

Пример. Исследовать зависимость урожайности капусты Y () от количества использованной воды при искусственном поливе X () в период роста культур.

Опытные данные по 9 полям представлены в таблице:

№ поля
Кол-во воды при поливе ()	18.2	16.3	17.0	19.4	20.4	22.1	23.2	24.3	25.1
Урожайность	25.3	23.1	24.2	30.5	35.6	33.7	30.8	28.2	22.5

Выполнить регрессионный анализ исследуемых переменных.

Решение. Можно предположить, что увеличение объёма полива приводит к повышению урожайности до некоторого предела, после чего урожайность будет снижаться.

Анализ эмпирических данных позволяет предположить, что наиболее подходящим уравнением регрессии будет уравнение:

+ .

Параметры параболической регрессионной модели найдём, используя метод наименьших квадратов:

Приравняв частные производные S по неизвестным параметрам нулю ;(j= 0, 1, 2), получим систему нелинейных алгебраических уравнений:

Для расчёта сумм, входящих в систему, составим вспомогательную таблицу:

i
	18.2	25.3	331.2	6028.6	109719.9
	16.3	23.1	265.7	4330.7	70591.2
	17.0	24.2	289.0	4913.0	83521.0
	19.4	30.5	376.4	7301.4	141646.9
	20.4	35.6	416.2	8489.7	173189.1
	22.1	33.7	488.4	10793.9	238544.4
	23.2	30.8	538.2	12487.2	289702.3
	24.3	28.2	590.5	14348.9	348678.4
	25.1	22.5	630.0	15813.3	396912.6
Итого		253.9	3925.6	84506.6	1852505.8
i
	376.5	6137.4	533.6	20.9	4.8
	411.4	6993.8	585.6	24.4	0.1
	591.7	11479.0	930.3	32.0	2.3
	726.2	14815.3	1267.4	33.3	5.3
	744.8	16459.4	1135.7	32.8	0.8
	714.6	16577.8	948.6	30.8	0.0
	685.3	16651.8	795.2	27.4	0.6
	564.8	14175.2	506.3	24.0	2.3
Итого	5275.7	111670.1	7342.8	254.6	29.8

Система принимает вид:

Решая эту систему (например, методом Гаусса) получим:

; ;

Уравнение регрессии будет иметь вид:

.

Оценим значимость (адекватность) полученной модели.

Вычислим необходимые суммы квадратов отклонений:

Тогда наблюдаемое значение критерия адекватности модели (и критическое) будут равны, соответственно:

Здесь n – число наблюдений (n=9); m – количествопараметров при независимой переменной (это параметры и , то есть m= 2).

Так как > , то уравнение регрессии значимо.

Для оценки тесноты связи между переменными X и Y вычислим индекс корреляции:

Заключаем, что зависимость между X и Y весьма существенная и значимая.

Коэффициент детерминации показывает, что вариация урожайности зерновых культур на 83.44 % обусловлена регрессией, то есть изменчивостью количества воды при поливе.

Точность модели оценим стандартной ошибкой уравнения регрессии:

Поиск по сайту: