Генеральная и выборочная совокупности

Под генеральной совокупностью подразумевается все возможные наблюдения некоторого показателя (признака), все исходы случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины X(ω).

Выборку называют репрезентативной (представительной), если она достаточно полно представляет изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности.

Для того, чтобы выборка была репрезентативной, необходимо обеспечить случайность отбора, с тем чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку. Для образования выборки применяются два метода отбора:

1) повторный отбор, при котором случайный отобранный объект возвращается в генеральную совокупность;

2) бесповторный отбор, при котором отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Для обеспечения репрезентативности выборки применяются следующие способы отбора:

1) простой отбор, при котором последовательно отбирается первый случайно попавший объект;

2)механический отбор, при котором объекты из генеральной совокупности отбираются через определенные интервалы, например, если объем выборки составляет 20%, то отбирают каждый пятый объект;

3) типический отбор, при котором объекты отбираются пропорционально представительству различных типов объектов в генеральной совокупности;

4) случайный отбор, при котором выборку проводят с помощью таблицы случайных чисел, имеющихся в специальных таблицах или вырабатываемых ЭВМ.

Произведем из генеральной совокупности выборку объема n. Наблюдаемые значения случайной величины X: x₁, x₂,…x_k называются вариантами.

Вариационным рядом называется последовательность вариант записанных в возрастающем порядке. Разложение статистических данных по не убыванию называется ранжированием статистических дынных.

Если наблюдаемые значения варианты x_i повторяются, то число появлений значений x_i называются частотами и обозначаются n _i, а их отношения к объему выборки - относительными частотами, т.е. (1)

Статистическим распределением случайной величины X называется перечень вариант x_i и соответствующих им частот n _i или относительных частот w_i, при этом

, . (2)

Если X- непрерывная случайная величина, то её статистическое распределение представляют в виде частичных интервалов длинной h, для каждого частичного i-го интервала находят сумму частот вариант n _i или сумму относительных частот w_i.

Для графической иллюстрации статистического распределения строят полигон, гистограмму и кумулятивную кривую (кумулята).

Полигон частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n ₁), (x₂, n ₂),....,(x_k, n _k).

Полигон относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁,w₁), (x₂,w₂),..., (x_k,w_k).

Для непрерывной случайности величины X строят гистограмму (диаграмма).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основание - частичные интервалы длиной h, а высоты - отношение (плотность частоты). Площадь i-го прямоугольника равна

, а площадь гистограммы равна объему выборки, т.е. объему всех частот и интервалов соединяющих их.

Для построения полигона частот можно взять середины интервалов и соединить их. Для построения гистограммы относительных частот аналогично строятся прямоугольники длины h и высоты - (плотность относительной частоты), тогда площадь прямоугольника равна , а вся площадь - сумме всех относительных частот, т.е. единице. Гистограмма обычно служит для определения величины изображения выборки в случае непрерывных случайных величин. Для определения длины интервала h используется формула Стерджеса:

, (3)

где - разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, m =1+log₂ n - число интервалов (log₂ n ≈ 3,322lgn). За начало первого интервала рекомендуется брать величину .

Кумулятивная кривая – это кривая накопленных частот, которые находятся последовательным их суммированием, т.е. кумулята – это кривая, соединяющая точки (х_i, ) или (х_i, ), I = 1,2,…,к.

Поиск по сайту: