Множественная регрессия и корреляция. При исследование экономических процессов используются различные эмпирические данные, которые формируются под действием множества факторов

При исследование экономических процессов используются различные эмпирические данные, которые формируются под действием множества факторов, влияние одних может быть систематическим и сильным, а других - случайным и слабым. Если же этими влияниями пренебречь нельзя, то в этом случае следует попытаться построить модель множественной регрессии ,где – зависимая переменная (результативный признак), – независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).

Спецификация модели. Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны быть количественно измеримы и не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю.

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Рассмотрим линейную модель множественной регрессии

, (22)

которая в матричном виде имеет вид:

У = Х · β + ε, (23)

где У = Х = , β = , ε = .

Для оценки модели множественной регрессии (23) по выборке возьмем уравнение

= Х·В + е, где В = , е = . (24)

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели множественной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных минимальна:

. (25)

Вычисляя частные производные первого порядка по каждому из параметров и приравнивая их к нулю:

= 0, …, = 0,

получим нормальную систему уравнений в матричном виде:

Х^Т Х В = Х^Т У, (26)

решение которой определяется соотношением:

В=(Х^ТХ)^-1Х^ТУ. (27)

Для двухфакторной модели нормальная система будет иметь вид:

(28)

Решение этой системы имеет вид:

ŷ_{i =} b₀ + b₁ x_1i + b₂ x_2i. (29)

Для линейной множественной регрессионной модели (22) должны выполняться следующие предпосылки:

1. Величины х₁,х₂, …,х_p- детерминированные, неслучайные, а матрица ε – случайный вектор;

2.Математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях: М(ε) = 0;

3.Дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений: D(ε) = σ² = Const;

4.Случайные ошибки не коррелированны между собой, т.е. ковариация случайных составляющих в любых двух разных наблюдениях равна нулю: ;

5.Матрица ε - нормально распределенный случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ² .

Теорема Гаусса Маркова. При выполнении предпосылок 1 – 4 оценка метода наименьших квадратов В = (Х^ТХ)^-1Х^ТУ является наиболее эффективной, т.е. обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.

Наряду с стандартизованными коэффициентами регрессии используются средние по совокупности показатели эластичности:

Е_j = , (30)

которые показывают на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Лекции №8.

Поиск по сайту: