Повнота системи елементарних дій над критеріями (методів згортання)

Використовуючи різні комбінації описаних у попередньому параграфі методів згортання критеріїв, можна відобразити всю широту можливих однозначних залежностей критерію об’єднаної операції від критеріїв частинних операцій. Це випливає з низки результатів, наведених у книзі Гермейєра.

Теорема 1. Якщо однозначна функція і кожний з критеріїв набувають лише скінченну кількість скінченних можливих значень, то залежність від може бути подана за допомогою скінченої кількості дій типу IV (тобто (1.27)−(1.29)), I і II (формули (1.22) і (1.25) відповідно).

Д о в е д е н н я. Нехай − можливі дискретні значення -го критерію, , занумеровані у порядку зростання. також, очевидно, набуває значення із скінченної множини , .

Розглянемо функції

Оскільки є функцією від , то вона є і функцією від . Очевидно, що

, (1.35)

де . Отже, утворена з способом І (1.22).

Нехай аналогічно визначаються за правилом

. (1.36)

Таким чином, функції утворені з , використовуючи спосіб ІІ. Крім того,

(1.37)

Тому , які є функціями від , можуть бути записані як функції від . Оскільки і є бульовими змінними, які набувають значень з множини , то за відомою теоремою математичної логіки, залежність від може бути подана[†] як послідовність дій типу IV.

Але оскільки самі виражаються через за способом ІІ, а − через за формулою (1.35), тобто за допомогою правила І, то теорему доведено. Дана теорема вичерпує всі результати щодо точного зображення залежностей у вигляді скінченної кількості елементарних дій.

Наступні теореми встановлюють лише можливість того чи іншого наближеного зображення, але з довільною заданою точністю.

Теорема 2. Нехай набуває скінченну кількість (N) значень , а нехай довільні, але обмежені. Тоді, яким би не було , існує множина векторів і функція , утворена за допомогою скінченої кількості дій типу І, ІІ і IV, такі, що

1) , коли ;

2) пробігає всі N значень , якщо пробігає значення з , не набуваючи інших значень і при довільних ;

3) утворює -сітку на обмеженій множині всіх , тобто для будь-якої знайдеться , віддалена від не більше, ніж на .

Теорема 3. Якщо рівномірна неперервна на деякому паралелепіпеді можливих значень , то вона з довільним ступенем точності може бути зображена у вигляді скінченої кількості дій типу І, ІІ і IV.

Оскільки дії типу V узагальнюють дії типу IV, то система дій І, ІІ і V теж є повною.

Теорема 4. Якщо неперервна на області , то для будь-якого знайдеться така скінченна кількість коефіцієнтів що у цій області

.

Доведення теорем 2, 4 наведено у Гермейєра.

Зауваження до теореми 4.

A. У формулюванні теореми можна, звичайно, з відповідними змінами коефіцієнтів лінійних форм, брати не мінімакс, а максимін. Для цього достатньо скористатись теоремою 4 для і рівністю

.

В. У сучасній математиці, зокрема, у лінійному і нелінійному програмуванні і теорії ігор, велике значення мають опуклі (вгнуті) функції , які задовольняють нерівність

для будь-яких . Для вгнутих функцій справджується протилежна нерівність. Можна переконатись, що функції опуклі. Дійсно,

[‡]

Звідси випливає, що будь-яка неперервна в обмеженій області функція з будь-яким наперед заданим ступенем точності наближено дорівнює , де всі − опуклі функції, тобто наближено дорівнює мінімуму, взятому за скінченною множиною опуклих функцій. Зрозуміло, згладжуючи кусково-лінійні опуклі функції, можна завжди вважати досить гладкими, якщо це буде потрібно.

С. Теорема 4 може бути використана і для наближеного подання залежності критерію ефективності від контрольованих і неконтрольованих факторів. Отже, будь-який неперервний критерій ефективності можна подати як мінімакс на множині лінійних функцій або як мінімум на множині опуклих функцій.

D. Як сказано в умовах теореми, , тобто не залежить від точності і області зображення. Навпаки, сильно залежить від точності зображення і області, у якій ця точність досягається.

Якщо функція задовольняє умови Ліпшиця за всіма аргументами, то . Ця нерівність разом з нерівністю досить точно описує можливий ступінь складності наближеного запису критерію за допомогою дій додавання і знаходження максимуму і мінімуму.

Отже, теореми 1−4, показують повноту розглянутих елементарних способів об’єднання критеріїв, якщо . Якщо ж де − неконтрольований параметр, то використовуючи при фіксованому наведені теореми і додаючи спосіб VI, одержимо підтвердження повноти способів об'єднання критеріїв і за наявності неконтрольованих факторів.

Поиск по сайту: