Обобщенные силы

В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.

(2.24)

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n-h степеней свободы, то положение этой системы определяется ( i = s)

обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k – й точки

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил

(2.24), получаем

(2.25)

Скалярную величину = (2.26)

называют обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате.

Обобщенной силой, соответствующей i - й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от

¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и

¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T _j от N _j, (T _j ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:

¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,

¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то:

¾в первом случае обобщенной силой будет

Рис. 2.9 Q_s = mg sina, а

¾во втором случае ¾ Q_j = mg r cosa.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)

(2.27)

следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.

Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Q_s ¾ будет [ ньютон ],

Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Q_j ¾ будет [ ньютон ´ метр ] .