 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Число степеней свободы механической системы
Пусть механическая система состоит из n материальных точек.
Положение такой системы в пространстве определяется 3n декартовыми координатами. Если на систему наложено h голономных удерживающих связей, то независимыми между собой будут не 3n, а
s =3n – h вариаций координат, а остальные ¾ h – зависимые.
Число независимых изохронных вариаций координат – число независимых виртуальных перемещений – называется числом степеней свободы системы.
Выбрав s =3n – h декартовых координат системы в качестве независимых, остальные h координат можно найти при помощи уравнений связей. Выбор декартовых координат в качестве независимых для ряда задач механики оказываются нерациональным, так как приводит к громоздким выкладкам. Поэтому целесообразно использовать и другие независимые координаты.
Обобщенными (лагранжевыми) координатами называются независимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение несвободной механической системы в пространстве, в любой момент времени; обозначаются qi (t), где i= 1,2,…, s;
число их равно числу степеней свободы (i = s); они имеют начало отсчета и направление; для системы, состоящей из n материальных точек, на которые наложено h голономных удерживающих связей, через обобщенные координаты должны быть выражены s =3n – h независимых декартовых координат. Остальные декартовы координаты выражаются через те же обобщенные координаты с помощью h уравнений связей. Следовательно, и радиус векторы всех точек системы выражаются через обобщенные координаты:
(2.11)
Таким образом, обобщенные координаты q1, q2,…,qi,…,qs
обладают следующими свойствами: они
1) вещественны, т.е. не могут принимать комплексных значений;
2) независимы друг от друга;
3) имеют самостоятельный геометрический смысл – это значит, что эти переменные определяют положение системы, т.е. значения декартовых координат ее точек до написания (и тем более до интегрирования) уравнений движения.
Производные от обобщенных координат по времени 
называются обобщенными скоростями.
На практике при выборе обобщенных координат qi, как правило, нет необходимости в выписывании явных выражений для функций qk (t, Xj).
Например, если точка находится на поверхности сферы с радиусом
r = r (t), то в качестве обобщенных координат qi (i = 1,2,3), можно принять углы Эйлера: y- угол прецессии, q - угол нутации, j - угол ротации (или собственного вращения) сферической системы координат.
Обобщенные координаты могут быть выбраны удачно – решение конкретной задачи благодаря такому выбору может быть получено проще и форма его может быть более наглядной. В иных случаях выбор координат qi не будет таким удачным. Общего правила, как выбирать обобщенные координаты, не существует. Можно высказать лишь некоторые наводящие соображения, связанные со структурой системы и с характером силовых полей. Главное здесь – это личный опыт, приобретаемый при решении задач.
В качестве обобщенных координат могут приниматься не только линейные (отрезки прямых), но и угловые (дуги, углы) перемещения, а также любые другие параметры, удовлетворяющие определению обобщенных координат. Отметим, что для одной и той же механической системы может быть несколько вариантов обобщенных координат. Конкретный выбор обобщенных координат определяется поставленной задачей.
Пример 2.8, Все декартовы координаты точек выразить через обобщенные координаты. Так, положение кривошипно-ползунного механизма, показанного на рис.2.6, определяется двумя его точками А и В. Из четырех декартовых координат
Рис.2.6 (xА,yА, xВ, yВ) независимой будет только одна, так как число h голономных удерживающих связей равно трем (h = 3):
¾длина кривошипа ОА = l 1= const,
¾длина шатуна АВ = l 2 = const,
¾ координата yB =0.
Если за независимую декартову координату принять xА, а за обобщенную ¾ угол j (q = j) поворота кривошипа (1) против часовой стрелки, то xА= l 1 cosj. Другие декартовы координаты точек системы определим с помощью уравнений связей. Из уравнения
xА 2 + yА 2 – l1 2 = 0 находим yА = l 1 sin j. Ордината yB =0.
Из условия (xВ -xА) 2 + yА2 - l2 2 = 0 получаем
xВ 2=2 l 1 xВ cosj + l2 2– l1 2. Если l2= l1, то xВ=2 l 1 cosj.
Таким образом, все декартовы координаты точек системы выражены через угол j, принятый за обобщенную координату q =j.
Пример 2.9. Выразить виртуальные перемещения точек А и В стержня (рис.2.7) через его обобщенную координату.
Решение. Положение стержня в плоскости xOy определяется четырьмя декартовыми координатами точек А и В. Уравнения голономных стационарных удерживающих связей, наложенных на стержень, имеют вид xВ=0;,yА=0; xА 2 + yВ2 – l 2 = 0,
Рис. 2.7 где l = АВ.
Число степеней свободы s = 1, и в качестве обобщенной
координаты можно выбрать угол q = j, который стержень образует с осью Ox.
Радиус-вектор точки А равен 
Так как xА= l cos j, то
Аналогично радиус-вектор точки В равен 
yА= l sinj, то
Примеры определения числа степеней свободы
Поиск по сайту: