АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования

Читайте также:
  1. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  2. III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. XVII. Задания, связанные с различными направлениями консультирования
  5. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
  6. Адресоваться к различным сегментам в каждой стране
  7. Аксиомы линейного пространства
  8. Анализ использования собственных ОПФ
  9. Анализ цены собственных и заемных источников.
  10. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  11. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  12. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.

Будем вести индукцию по n. В случае n =1 любое преобразование имеет вид

Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего.

Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n.

Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ1 симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ1 – действительно число. Пусть а 1 – соответствующий собственный вектор.

Обозначим через S – множество всех векторов , ортогональных к а 1

Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а 1), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если , то . Действительно,

Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис , состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.


Вместе с равенством это доказывает нашу теорему.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.)