С) Нуль

1. Что является синтезом положительного и отрицательного числа? Ведь этот синтез так же элементарно необходим и так же явственно <...>, как и наличие положительного и отрицательного числа. Не может не быть такого единства, и мы должны пересмотреть всю сферу математики с целью найти такой тип числа, который бы адекватно соответствовал этому синтезу. Конечно, нужно и здесь понимать этот синтез не сухо и скучно, как неизбежное зло, насильно навязанное извне. Надо его понять как подлинно жизненную и мыслительную потребность, как логику внутренней основы самого бытия. Тогда и соответствующая числовая структура забьется как живое существо диалектической мысли, и выявятся те ее тайны, которые не известны ни философу, подходящему к ней антидиалектически, ни математику, подходящему к ней технически–вычислительно.

2. а) Попробуем ясно представить себе этот синтез как таковой — сначала без применения к числу. Тут тоже совершенно простая и элементарная диалектическая категория, которую, однако, приходится растолковывать ввиду обычной неясности и формализма, вносимых сюда людьми, которым чужда диалектика как подлинный и внутренно живой метод философии. Что такое синтез вообще? Синтезом в диалектике вообще называется категория, в которой совпадают и сливаются до полной неузнаваемости тезис и антитезис. Тезис и антитезис настолько проникают друг друга, настолько объединяются, что получается полное и абсолютное их тождество, тождество, в котором уже нельзя различить тезиса и антитезиса, хотя они продолжают в этом синтезе содержаться. Для всякой пары тезиса и антитезиса надо поискать такое слово, которое бы, обозначая искомый синтез, совместило бы в своем значении и смысл тезиса, и смысл антитезиса. Если иметь в виду идею и факт (или факт и идею) как тезис и антитезис, то ближайшим и простейшим синтезом этих двух категорий, синтезом не вообще, но именно диалектическим синтезом, будет категория границы. Не стоит, конечно, об этом распространяться здесь подробно; для полного и точного уяснения диалектического смысла этой категории необходимо обратиться к более общим трудам по диалектике. Здесь мы напомним только самое существенное, без чего эта категория потеряла бы всякое значение.

b) Почему граница есть синтез идеи и ее инобытия, или идеи и факта, или, выражаясь в самой общей форме, бытия и небытия. Бытие, осуществляясь, отличается, отталкивается от небытия; и как только это отличение заканчивается, бытие получает определенность, т. е. сформулированность, при помощи предела, границы. Определить для диалектики всегда значит ограничить, ибо без точного проведения границы со всем бытием, не относящимся к определяемому бытию, т. е. с инобытием, с небытием, не может состояться и фиксация того, что входит в определяемое бытие, т. е. не может состояться само определение. Итак, граница, определенность есть первый и ближайший законченный результат синтезирования бытия и небытия. Но если это так, то совершенно бесполезно ставить вопрос о том, к чему относится граница—к бытию или к небытию. Часто затрудняются вопросом о том, к чему относится граница, т. е. окружность круга, — к самому ли кругу или к окружающему его фону. Тут может быть только диалектическое решение вопроса. 1) Граница бытия есть только потому граница бытия, что она есть момент самого бытия. Иначе бытие окажется лишенным границы и, следовательно, потеряет определенность. 2) Граница бытия относится к небытию, потому что создающее эту границу есть именно небытие, и без наличия небытия не было бы ничего, от чего бытие отличалось бы, т. е. не было бы самой границы. 3) Граница бытия не относится к бытию, потому что бытие есть само еще только то, что нуждается в определении и ограничении, и внесение границы бытия в состав самого бытия потребовало бы наличия еще новой границы для определения бытия, которая уже не входила бы в состав самого бытия. 4) Граница бытия не относится к инобытию, или небытию, и не составляет его части, потому что, составляя часть инобытия, она и оставалась бы в недрах инобытия, и не выходила бы для встречи с бытием и для его ограничения. Следовательно, граница[136]бытия есть и бытие, и небытие и не есть ни бытие, ни небытие, и все это — при совершенно однозначном употреблении всех этих терминов. Граница потому и есть синтез бытия и небытия, что она одновременно есть и то, и это и ни то, ни это. Такова природа и всякого диалектического синтеза — в отношении соответствующих тезиса и антитезиса.

3. а) Какое число в математике соответствует этому понятию границы как диалектического синтеза, если под тезисом понимать положительное число, а под антитезисом— отрицательное? Таковым числом является нуль. Нуль есть тождество полагания или утверждения и отрицания, диалектический синтез положительного и отрицательного числа — в смысле границы, отделяющей положительные числа от отрицательных, и в смысле предела, одинаково и одновременно как относящегося к той и другой сфере, шшс w «&#946; относящегося ни к той, ни к другой сфере, а представляющего совершенно отдельную, самостоятельную и оригинальную категорию.

b) Что нуль есть граница в математическом смысле — это банальная истина элементарных школьных учебников. Но необходимо понимать это не только математически, но и чисто логически, т. е. диалектически. В арифметике или геометрии нуль — граница между положительными и отрицательными числами в чисто счетном смысле. Кроме того, во всех подобных рассуждениях у[137]математиков звучит всегда нотка условности, необязательности. Утверждают, что просто условились так, чтобы вправо от центра координат по линии х–ов отсчитывать положительные величины, а [влево— ] отрицательные, и что в самом центре координат значение хи у равно нулю. В логике не может быть такой условности. Вовсе не условились так, что между положительными и отрицательными числами лежит граница, именуемая нулем, но иначе и быть не может. Наличие нуля как границы неизбежно и неотстранимо для мысли, как только она начинает прикасаться к этому предмету. Само основание бытия таково, что между положительным и отрицательным числом лежит нуль и что этот нуль и положителен, и отрицателен и в то же время не положителен, и не отрицателен. Диалектика нуля заключается в синтезировании этих двух сфер и, стало быть, в их четком разграничении. Он — устойчивый и твердый синтез числа как бытия, факта, как положенного и, следовательно, положительного числа и числа как небытия, инобытия, идеи как отрицаемого и, следовательно, отрицательного числа.

4. Одним из лучших подтверждений понимания нуля в математике не как простого отсутствия всякого бытия является равенство А° = 1. Если еще в таких равенствах, как А 0–0 и 0 А = 0, можно нуль принимать (до некоторой степени) как отсутствие, то в этом равенстве единственная возможность осмысления возникает только при толковании его как

^{= 1}. Никакого другого смысла это равенство не содержит. Но такое понимание (а^п~^п = а°) как раз и свидетельствует о том, что нуль тут берется как равновесная граница между положительными и отрицательными числами. Нельзя иначе понять и «неопределенное» равенство

= A. Тут нули не отсутствие всякого бытия, но равновесие между определенными положительными и отрицательными величинами.

2. ВНУТРЕННЕЕ ИНОБЫТИЕ § 94. а) Целое число.

Положительное число, отрицательное число и нуль — первая элементарная триада чисел, первые три типа числа вообще. Теперь перейдем ко второй триаде. Эта триада непосредственно связана диалектически с первой триадой и есть ее естественное продолжение. Однако на первых порах целесообразнее изложить отдельно вторую и отдельно третью триаду — с тем чтобы уже потом установить между этими тремя триадами всестороннюю диалектическую взаимозависимость. Тут необходимо получить только первые члены этих двух триад, чтобы последние не повисли в воздухе. Всесторонняя же взаимозависимость их выяснится после формулировки их элементов.

1. Положительное число есть полагание числа как числа, числа, взятого целиком, числа как такового. Мы уже должны знать из общей диалектики о различии внешнего и внутреннего инобытия. Когда категория полагается[138]как таковая и, следовательно, противополагается всякому внешнему инобытию, то, очевидно, действует здесь внешнее инобытие, идея перешла во внешнее существование, и будут исследоваться судьбы ее вовне. Но категория может претерпевать полагание внутри себя самой, когда не ставится никакого вопроса о ее внешнем существовании и превращении ее в факт. Можно в пределах самой же идеи полагать ее внутреннее содержание, и мы будем получать внутренние различия в идее (или в факте, если речь идет о факте), судьбу не самой идеи в ее субстанции во внешнем мире, но судьбу ее отдельных частичных моментов внутри нее самой.

b) Всякое инобытие есть принцип оформления и, следовательно, делимости. И внешнее инобытие, превращая идею в факт и создавая для нее субстанцию, впервые делает возможным деление и дробление идеи, в то время как [к ] самой идее эти операции неприменимы и бессмысленны. Внутреннее инобытие также превращает идею в факт, но факт не ее самой, а факт оформления ее внутреннего содержания; и это внутреннее содержание впервые получает возможность быть целым и, следовательно, быть дробным, делиться. Положительное число есть полагание числа как числа в его числовой субстанции и фактичности[139]; и покамест это полагание выдерживается как таковое, число остается положительным числом. Когда это полагание остается уже не как полагание, а как полагание для отправления от этого полагания в сторону, как предел, на который наскакивает внешнее инобытие, то мы имеем уже не полагание, а отрицание, и число становится отрицательным. Попробуем формулировать результат такого же полагания и отрицания внутри самого числа, полагания и отрицания внутреннего содержания числа, его внутреннего инобытия.

2. а) Итак, число еще не положено как таковое, но также еще ничего не сказано и о его внутреннем содержании. Мы полагаем теперь это внутреннее содержание, т. е. прежде всего внутреннее инобытие числа, без которого невозможно никакое внутреннее содержание (ибо это содержание и есть не что иное, как внутреннее инобытие). Следовательно, число, независимо от того, положено ли оно как внешняя субстанция или нет, начинает мыслиться нами как положенное внутри себя. Мы созерцаем число в его внутреннем содержании, в том, что содержится внутри его резко очерченной границы. Пусть число есть некий круг или некий шар. Мы можем наблюдать, как катится этот круг или шар, т. е. наблюдать путь его движения, его внешнюю судьбу, не обращая никакого внимания на его очертания, на его цвет, форму, на то, что на нем нарисовано. И мы можем наблюдать и анализировать самый этот круг или шар независимо от его внешней судьбы, т. е. независимо от того, движется ли он или покоится, и если движется, то как именно. Когда мы говорили о положительном или отрицательном числе и о нуле, мы представили себе число именно в виде этого как бы круга или шара, взятых в состоянии покоя или движения, без обращения внимания на их собственное содержание, окраску, запах, твердость или мягкость и пр.

Теперь мы рассматриваем число в его внутреннем инобытии и потому забываем, положено ли оно, или <…> или оно ни то и ни другое. Однако полагание внутреннего инобытия происходит тут у нас в сфере числа; число же, как мы знаем, совершенно формально в отношении всякого содержания и абсолютно пусто от всякой вещественной наполненности. Стало быть, речь идет о полагании количественного счетного содержания. С другой стороны, пока идет речь о полагании внутреннего инобытия просто, пока еще нет никакого перехода к частичным моментам этого инобытия, мы имеем в виду все внутреннее содержание числа целиком, все его внутреннее инобытие без внесения в него каких–нибудь различий. Что же делается в таком случае с числом и какой тип числа мы здесь получаем?

b) Число 1) положено в своем внутреннем содержании, 2) это содержание — чисто количественное, и 3) это количественное содержание взято нерасчлененно, взято как таковое, как чистый принцип внутреннего инобытия без всяких дальнейших усложнений и детализации. Все это создает совершенно новую категорию числа, а именно категорию целого числа.

3. Что такое целое число и что такое целость вообще? Заметим, что целость есть, несомненно, понятие числовое, так что для наших целей почти достаточно было бы говорить просто о целом, о целости. Целость и целое число — почти синонимы. Итак, какой же смысл вкладываем мы в эти слова и совпадет ли наш диалектический вывод целого числа с обычным, и математическим, и житейским, пониманием целого числа и целого вообще? С понятием целого связана масса ненужных нам сейчас воспоминаний из споров, происходивших часто и раньше в истории философии и не ослабевающих также и в современной философии. Их мы должны совершенно обойти молчанием, так как масса высказанных в этой области мнений способна только затемнить ясный и простой ход нашей диалектической мысли. Отметим то, что мыслится и «чувствуется» всяким и каждым при употреблении этих простых слов — «целое», «целость», «целостность» и пр.

а) Мы не ошибемся, если, во–первых, скажем, что «целость» есть характеристика именно внутреннего содержания вещи. Что значит, что это стекло целое? Это значит, что оно не разбито. А что значит, что это стекло не разбито? Это значит, что, рассматривая его по его поверхности, т. е. скользя взглядом в пределах его формы (например, четырехугольной), мы нигде не встречаем трещины и нигде не встречаем такого факта, который бы преградил нам непосредственное скольжение взгляда от одного края стекла до другого. Но что значит скользить взглядом по поверхности стекла в пределах его очертаний? Это значит фиксировать не внешнюю судьбу стекла, когда оно, скажем, переносилось бы с места на место, вставлялось бы в раму и т. д., а его внутреннее инобытие, фиксировать то, что содержится между его пределами, границами, в его очертаниях. Чтобы мыслить себе шар целым, целость шара, надо уже отвлечься от того, покоится он или движется, и надо сосредоточиться на его внутренних, ему как таковому присущих свойствах. Это, кажется, вполне ясно и убедительно без[140]дальнейших доказательств.

b) Что еще, во–вторых, мы соединяем в обыденной жизни с понятием целого? Мы фиксируем вещь в тех ее качествах, которые содержатся в ней в пределах свойственных ей границ и очертаний, и что же, собственно, мы тут фиксируем? Раз мы говорим «целый шар» и «шар просто», то мы, очевидно, различаем «целость» и «шаро–вость», ибо иначе сказать «шар» уже значило бы тем самым сказать и «целый шар», а мы знаем, что есть шары разбитые, расколотые. Итак, целость может быть свойственна числу и вещи, но не есть их обязательное свойство. А раз так, то, фиксируя целость числа и вещи, мы не фиксируем самое число или самое вещь[141], но некое их свойство, находящееся внутри их и как бы разлитое в их пределах. Что же это за свойство? Оно действительно как бы разлито по всему числу или по всей вещи и в то же время не есть сама вещь. Но, фиксируя целую вещь, мы говорили, что это именно вещь. Значит, фиксируя целость вещи, мы продолжаем фиксировать самую вещь; и то, что «разлито» внутри вещи, есть сама же она, эта самая вещь. Что же получается? Да получается то самое, что мы формулировали выше, выводя категорию целого числа: это есть число, в котором произошло полагание его самого внутри его же самого, т. е. полагание его внутреннего содержания. Когда вещь положена внутри себя самой, это значит, что положено ее внутреннее содержание, а когда положено внутреннее содержание вещи, это значит, что вещь взята как противоположность себя самой, т. е. взята вещь как бы в действительном числе, и эти две вещи опять положены как одно. Это и значит, что мы фиксируем внутреннее инобытие вещи или числа, полагаем вещь и [ли] число в его внутреннем инобытии самому себе. Полагаем внутреннее инобытие вещи, т. е. то, что не есть сама вещь, но в то же время полагаем его внутри самой же вещи, т. е. отождествляем с самой же вещью, «разливаем» ее внутри ее же самой; и потому — получаем возможность судить, целая вещь или не целая.

c) Пока бралась вещь сама по себе, мы еще не знали ничего об ее целости, а если и знали, то знали бессознательно, интуитивно, не возведя этой целости в специально сознаваемую категорию сознания. Но теперь мы хотим знать, целая эта вещь или не целая и что же для этого надо сделать? Для этого надо с [опое ]тавить данную вещь с нею же самой; и если будет тождество, вещь — целая, а если этого тождества в результате сравнения не установится, вещь — не целая. Однако, чтобы сравнить вещь с нею же самой, надо отличить ее от нее самой. А отличить вещь от нее же самой можно только, говоря грубо, сделавши новую вещь как полную копию данной вещи; тогда получится две одинаковые вещи, и мы можем их сравнивать. Но «сделать» другую вещь по образцу данной вещи — и значит то, что мы в диалектике называем «положить», «утвердить» вещь. Значит, ясно, что суждение о целости вещи и [ли] числа может осуществиться только тогда, когда вещь или число 1) положено, 2) положено как новая вещь или число, но 3) внутри самой же вещи или числа. Тогда можно сравнивать вещь с нею самой и можно узнать, целая она или нет.

d) Наконец, в–третьих, всматриваясь в самое обычное словоупотребление, мы замечаем, что целой мы называем такую вещь, в которой не только просто произведено нами сопоставление[142]ее с нею же самой, но в которой эта новая вещь, эта положенная вещь (благодаря полаганию которой и стало возможно сравнение) целиком отобразила в себе первую, первообразную вещь. Вот перед нами шар. Допустим, мы еще не знаем, целый он или нет. Что[143]нужно для решения вопроса о целости? Нужно пробежать глазами или пальцами по поверхности шара и убедиться, целый он или нет. А что мы мыслим в момент пробегания глазами или пальцами по поверхности шара? Мы тут как бы прикладываем к нашему шару мысленную мерку гладкого и целого шара и убеждаемся, что данный шар действительно целый. Стало быть, в процессе установления факта целого шара играют роль три момента: 1) шар как первообраз, шар как таковой, идеальный шар и 2) шар как отображение, фактический шар, положенный шар, шар как инобытие, причем 3) этот второй шар вполне отождествлен с первым, установлено, что хотя он и есть инобытие, но это инобытие полностью повторяет свой первый образ. Произошло отождествление шара с самим собой, и отождествление полное: как идеальный шар, будучи шаром в себе, шаром самим по себе, шаром просто, так и отображенный шар есть шар просто, шар сам по себе, шар как шар. Вот когда отображенный и положенный шар, оказывается, тоже есть шар просто, шар как шар, это и значит, что он—целый.

Так уже самое обыкновенное и житейское употребление слова «целое» указывает с очевиднейшей и полнейшей необходимостью, что наш диалектический вывод категории целого числа был элементарным и простым логическим построением, возникающим сам собою из простейших функций самого понятия числа.

4. Целое число, следовательно, [есть] число, в котором его инобытие положено внутри его же самого при полном отождествлении этого инобытия числа с самим же числом. Или: целое число есть субстанциальное тождество числа с самим собою, когда оно само для себя оказывается своим собственным содержанием.

На основании этой формулы целого числа можно вывести ряд его особенностей, имманентно ему присущих и выявляемых лишь в результате предлагаемого здесь диалектического анализа.

а) Можно сказать, прежде всего, что 1) понятие целого числа есть категория символического порядка. Под символом в самом общем смысле необходимо понимать смысловую структуру, которая обладает по крайней мере двухмерным характером, т. е. таким, когда даны два смысловых плана, отождествленных в один. Понятие целости есть поэтому категория символическая. Здесь идея, взятая отвлеченно и самостоятельно, рассмотрена с точки зрения своего осуществления, осуществления — в самой же себе, в своих собственных пределах и границах, и эта осуществленность идеи в недрах нее же самой дается тут с полной адеквацией, так что в осуществленном целиком осуществилось осуществляемое. Это, несомненно, один из многочисленных типов символических структур вообще. Привлечение сюда термина «символ» очень важно, так как с символом связана вполне определенная диалектическая система категорий, которую излагать тут неуместно, но которая достаточно известна тем, кто занимался историей диалектики.

b) Далее, ясным становится из предыдущего, что 2) целое как таковое совсем не зависит от своих частей, что целое не только не составляется из частей, но в смысловом отношении предшествует им и впервые делает их возможными. В самом деле, целое получилось у нас как результат отождествления вещи с самой же собой. Тут еще нет ровно никакого разговора ни о каких частях ни вещи, ни чего–нибудь другого. И ясно, что мы, еще не зная, что такое «часть», уже получили категорию «целого». Целое—это заполненность вещи самой собой. Целое число есть число, в котором, как в сосуде, налито оно же само в виде некоей размытой массы, в виде некоей смысловой «жидкости». Тут нет никакого реального указания ни на какую «часть» ни этого первообразного, ни этого «отображенного», «размытого» или «наполненного» числа. Правда, тут впервые возникает возможность дробления, возможность существования частей, но еще нет самого дробления и нет никаких раздельных «частей». Диалектика «части» требует еще нового логического шага, который мы сейчас и предпримем, но до сих пор мы еще его не предпринимали, и он никак не содержится в конструкции самого понятия целого числа.

c) Не мешает также все время помнить все фундаментальное отличие целого числа от положительного числа. Это отличие, как, впрочем, мы уже хорошо знаем, 3) сводится к различию внутреннего и внешнего инобытия числа, или сущностного (смыслового) и фактического, материального <…>, к различию «идеальной» и «реальной» материи, внутреннего и внешнего самоотождесгвления. Когда мы полагаем число и получаем положительное число, мы закрываем глаза на его внутреннее содержание; грубо говоря, мы тут забываем, из скольких и каких единиц оно состоит; забываем его внутриколичествен–ную, счетную простоту. И в самом деле, знак «плюс», приставленный к какому–нибудь числу, привносит в него новую особенность, отнюдь не в смысле того или иного счетного его изменения (например, увеличения или уменьшения). Новое, что привнесено сюда знаком «плюс», касается всецело судьбы этого числа вне всякой зависимости от его счетной величины. Новое тут есть тот новый путь, по которому призвано двигаться данное число, т. е. некое поле внешнего инобытия, по которому должно двигаться это число. Именно, это есть поле, на котором данное число утверждается, полагается, насаждается и таким образом прибавляется ко всему, что было до него. Совсем другое — целое число. Тут мы, наоборот, закрываем глаза на внешний путь числа, на судьбу его во внешнем инобытии, игнорируем вопрос о том, что оно будет делать с другими числами, если его пустить по данному пути, и что будет делаться от этого с ним самим. Тут мы сосредоточиваемся на самом числе, независимо от его покоя или движения, и спрашиваем себя: то ли это число, каким оно должно быть, оно ли оно или оно перестало быть самим собой? И вот, проверивши его путем определенного мысленного осязания его структуры, мы убеждаемся, что это число есть действительно оно само, и тут–то мы и говорим, что перед нами целое число. Таким образом, будучи тезисом в смысле полагания его внутреннего содержания (и противополагаясь, как мы сейчас увидим, дробному числу как антитезису), оно само является антитезисом в смысле перевода нашего внимания с внешней положенности числа ко внутренней положенности его содержания. Несомненно, тут должен быть и свой синтез, — синтез внешней положенности положительного числа и внутренней положенности целого числа. Но об этом синтезе у нас будет рассуждение в дальнейшем, а пока переходим к антитезису целого числа и проследим диалектическую судьбу внутренней числовой самоположенности.

Поиск по сайту: