АКСИОМАТИКА И МЕТАМАТЕМАТИКА

Остается рассмотреть логико–математические работы А. Ф. Лосева, взяв их как целое и как некую, скажем, световую точку на оттеняющем ее фоне мировых исследований в области оснований математики. Такое рассмотрение правомерно по меньшей мере по двум причинам. Во–первых, к началу 1940–х годов, когда лосевская «философия числа» приняла известную нам форму, многое существенное в данной области уже произошло и о многом главном сам А. Ф. Лосев имел вполне ясное представление (т. е. точку на фон помещать допустимо). Уже был не только исчерпан арсенал наивно–эмпирических определений понятия числа (от Евклида до Локка), была не только создана канторовская теория множеств и вполне выявлены ее парадоксы, но и выдвинуты все основные идеи для их преодоления[253]. Почти завершился длинный и трудный путь от Principia mathematica А. Уайтхеда и Б. Рассела (1913) к «Основаниям математики» Д. Гильберта и П. Вернайса (1939), уже начиналась (в том же 1939 г.) многотомная сага Никола Бурбаки, и уже был получен основной результат К. Гёделя (1931), указующий подобным титаническим усилиям нежданно убедительный предел[254]. Во–вторых, эта проделанная целой армией мыслителей работа лишний раз убеждала самого А. Ф. Лосева в том, что подлинно философское осмысление математических материалов слишком далеко от завершения и что «философию числа» можно и должно строить—ему, здесь и теперь (а нам, следовательно, точку и фон необходимо различать).

Прежде всего, лосевское понимание природы математических объектов максимально чуждо (еще популярному тогда в науке) психологическому подходу, выводящему представление о числе из некоторого комплекса актов переживаний субъекта. Автором «Диалектических основ математики» отрицалась и куда более известная, а для отечественной философской общественности советского периода даже едва ли не единственная доктрина о научных, в том числе математических, понятиях как результате абстракции, отвлечения от материальной действительности. При весьма почтенном возрасте, — уже после Аристотеля надо было рассматривать «математические предметы», «полагая что–то обособленно от привходящих свойств» (Met. 1078а 15), — и при наличии непрестанно возобновляемой череды апологетов (здесь видное место занимала как раз С. А. Яновская, один из главных идейных оппонентов А. Ф. Лосева) метод абстракции страдает принципиально важным дефектом: сама установка на абстрагирование имплицитно полагает знание именно того понятия, которое надлежит определить (логический круг). Отметим к случаю, что прямую борьбу с аристотелевским пониманием числа как абстракции А. Ф. Лосев начал еще в работах «Диалектика числа у Плотина» (1928) и «Критика платонизма у Аристотеля» (1929)[255]. В этих специальных античных экскурсах он приглашал современного читателя вернуться к старинному спору между Платоном и Аристотелем о природе числа, чтобы заново рассмотреть аргументы сторон и осознанно реабилитировать платонизм в математике.

Не столь однозначно отрицательным было отношение А. Ф. Лосева к логицизму. С одной стороны, ему безусловно импонировали начинания некоторых выдающихся ученых, приступивших в конце XIX в. к строительству оснований математики на аксиоматических принципах. Действительно, подобно тому как приверженцы методов Пеано и Гильберта получали многочисленные математические истины из немногих базовых утверждений–аксиом, так и А. Ф. Лосев последовательно (снизу вверх, от немногих посылок к многим следствиям) выводил и отдельные математические понятия, и развернутые теоремы, и целые типологии математических наук. Да, громадное древо математики произрастает из малого зерна, с нею развертываются и ее аксиомы. Тут действительно уместно высказывание «ботанического» свойства: аксиоматика, по Лосеву, «основана на последовательном созревании категорий» (404). Однако, с другой стороны, для него были неприемлемы многие изначальные, родовые особенности гильбертовской школы. Это и демонстративный формализм, т. е. сосредоточение на проблемах непротиворечивости вывода при игнорировании содержательных интерпретаций результатов (для русского философа подобная позиция попросту безжизненна), это и установка на строго обозримые «финитные» методы рассуждений (потому формалистам предписывалось «изгнать» важнейшую идею актуальной бесконечности), это, наконец, рискованная самозамкнутость гильбертовской теории доказательств. Последняя особенность заслуживает отдельного комментария.

Гильбертовская программа «спасения» классической математики от парадоксов, по определению С. Клини (1967), состоит в следующем: математика «должна быть сформулирована в виде формальной аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиворечивость, т. е. установить, что в этой формальной аксиоматической теории нельзя доказать противоречие»; доказательства при этом становятся «предметом специальной математической дисциплины, названной Д. Гильбертом метаматематикой, или теорией доказательств»[256]. Данная программа планировалась к реализации для арифметики, функционального анализа и, в перспективе, геометрии. Над отдельными фрагментами математики старательно возводились ажурные конструкции гильбертовой метаматематики (это оказалось изнурительно трудным занятием), когда подоспели знаменитые теоремы Гёделя. Здесь выяснилось, во–первых, что во всякой математической теории можно сформулировать вполне осмысленное, но недоказуемое и, вместе, неопровержимое утверждение, т. е. внутри всякой такой теории, достаточно богатой содержательно, гарантировано присутствие сомнительной ее составляющей. Потому доказательство непротиворечивости «изнутри» невозможно. Выяснилось, во–вторых, что непротиворечивость данной формальной теории доказывается только в рамках иной, более развернутой формальной теории, та в свою очередь нуждается в новом расширении, и т. д. Потому доказательство непротиворечивости «извне» всегда незавершимо. Таким образом, было строго доказано наличие принципиальных ограничений на строгость доказательств в математике. Это фактически указывало на необходимость выхода за пределы метаматематики (по Гильберту) в объемлющие ее области, причем по двум путям: либо пытаться преодолеть барьер, поставленный результатами Гёделя, за счет отказа от прежнего экстремизма и созданием новых формальных методов и повторного (через них) обращения к проблеме существования математических объектов, либо развивать более содержательную «метаматематику», действительно конструируя такие объекты из некоторых первооснов и уже не прибегая к математическим формализмам. Первым путем и по сей день следуют многие специалисты по основаниям математики[257], по второму пути пошел А. Ф. Лосев и больше, кажется, никто.

Пришла пора уточнить терминологию. Насколько правильно будет связывать «метаматематику» впрямую с именем Лосева? Ведь мы знаем, что сам автор называл свое учение либо, вполне определенно, «диалектическими основами математики» (как в названии основной своей книги по философским вопросам математики), либо, вполне общо, «философией числа» (и этим обозначением мы уже пользовались в предыдущем изложении). Кроме того, термин еще и «занят» под название сугубо математической дисциплины, введенной, как сказано, Д. Гильбертом. И все–таки смысловой пласт этого термина «метаматематика» слишком ценен, чтобы отказываться от него, доверяясь лишь формальным доводам.

Заметим прежде всего, что построения А. Ф. Лосева нигде не расходятся с математическими данными. Автор даже с некоторой (методологически оправданной) назойливостью и монотонностью вновь и вновь показывает, где и как его содержательная аксиоматика, его «основоположения числа» естественно перерастают в аксиомы и теоремы самой математики. Можно сказать, метаматематика А. Ф. Лосева проделывает свой отрезок пути и заканчивает там, где начинает математика, — в изощрениях профессионалов–нефилософов. Логически А. Ф. Лосев оказался раньше, впереди, прежде специалистов по математике и ее основаниям. Исторически имелась уже математика со всеми ее достижениями, принципиальными кризисами, необозримостью тем и предметов, когда явились на свет (точнее, от света, «в стол» А. Ф. Лосева) построения новой метаматематики. Эта ситуация определенно повторяет одну историю, — вспомним происхождение явно родственного «метаматематике» термина. Возник он случайно, когда Андроник Родосский (I в. до Р.Х.), заново упорядочивая и переписывая рукописи Аристотеля, вслед за группой сочинений «о природе» (ta physika) поместил еще группу под условным названием «То, что после физики» (ta meta ta physika). Так наука, «исследующая первые начала и причины» (Met. 982b 10) и самим Аристотелем величаемая «первой философией», стала «метафизикой». То, что в материальном мире занимало локус «после», в мире идей оказалось «до».

Впрочем, это только аналогия. О самом прямом вхождении лосевской «философии числа» как метаматематики в традицию «наук о первоначалах», как и о справедливости притязаний на многообязывающую семантику греческой приставки «мета», легче судить, если привлечь к нашему терминологическому рассмотрению книгу С. Л. Франка «Предмет знания» (1915). Автор книги ставит перед собой задачу построения единой «теории знания и бытия», предпочитает ее называть «не онтологией, а старым и вполне подходящим аристотелевским термином «первой философии»», себя относит опять–таки «к старой, но еще не устаревшей секте платоников» и особо выделяет в последней фигуры Плотина и Николая Кузанско–го[258]. Не правда ли, тут узнаются и предпочтения А. Ф. Лосева? Но еще больше согласий и перекличек обнаруживается в главе «Время и число» книги С. Л. Франка. В основу построений здесь кладется «всеединство» («единство целого», «единство единства и множественности»), которое и рассматривается как «единственный подлинный источник, из которого может быть выведено понятие числа». Единственный — ибо только на этом пути не возникает логический круг, ибо, только отправляясь от «всеединства», замечает С. Л. Франк, «мы действительно не предполагаем математических понятий единого и многого, а восходим к тому, в чем, как таковом, этих моментов еще нет и из чего они должны возникнуть»[259]. Далее следовало непосредственное «выведение числа из всеединства». Именно этой части «Предмета знания» А. Ф. Лосев посвятил специальный комментарий в книге «Музыка как предмет логики» (1927), где он тоже строил концепцию числа с опорой на трактат Плотина (Эннеады VI. 6 «О числах») и обнаруживал согласованность конструкций—своей, Франка и Плотина. Это и не удивительно: «одни и те же предпосылки приводят при правильном методе и к тождественным результатам»[260].

Лосевская метаматематика, в основе которой лежат глубокие неоплатонические интуиции, получала, таким образом, мощную поддержку примером непосредственного предшественника. Но этого мало. В своем построении и анализе «числовых структур бытия» А. Ф. Лосев сумел избежать одного существенного перекоса «первой философии» по Франку, на который последнему было указано некоторыми наиболее проницательными критиками. Так, в своей рецензии на книгу «Предмет знания» Н. А. Бердяев отмечал неоправданный «монизм» и упрощенность решения проблемы «изменения, творческого движения, возникновения нового, небывшего», напоминал о неустранимом присутствии во всеединстве не только «света» как творящего начала, но и «тьмы», «темных волн безосновной основы бытия», и в итоге определял: «Знание потому имеет творческую природу, что оно должно одолевать этот вечный напор тьмы, пронизывать его светом, оформлять этот изначальный хаос[261]. Для А. Ф. Лосева уже естественно относиться к извечной «меональной тьме» не только с пониманием, но и чрезвычайно конструктивно: «Из этого становящегося мрака как из некоей глины будем созидать те или иные смысловые фигурности» (501), — возглашает он фундаментальный принцип теории строительства математических объектов и повсеместно проводит этот принцип в практике своей метаматематики. Еще и в «Диалектике художественной формы», лет за десять до «Диалектических основ математики», легко отыскиваются те же мотивы и установки. К примеру, эта: «В сфере смысла, где слиты в единое и сплошное тождество категория и ее внутреннее инобытие, вполне позволительно выделять поочередно то самую категорию, подчиняя ей ее инобытие, то ее инобытие, подчиняя ей его категорию» (классификация искусств по «категориальному» и «мео–нальному» принципам). Или прочтем и учтем лосевскую похвалу Шопенгауэру за то, что «он больше всех других почувствовал как раз алогическую основу мира в отличие от всякой оформленности»[262].

Поиск по сайту: