Переход к типам числа

1. С возникновением натурального ряда сущность числа получает уже более или менее конкретную характеристику.

К натуральному ряду при известной точке зрения можно свести решительно всю арифметику, т. е. решительно всю математику. И наоборот, имея диалектическую конструкцию[128]натурального ряда, можно путем последовательного ее развития получить всю диалектическую систему математики. Но как двигаться от натурального ряда дальше?

В распоряжении диалектики имеется единственный метод—метод перехода в инобытие, в отрицание и в дальшейшем — метод отрицания этого отрицания, т. е. метод полагания в инобытии, в антитезисе того, что было в бытии, в тезисе, и тем самым синтезирования инобытия с бытием. Мы достигли натурального ряда чисел. Теперь, значит, натуральный ряд будет для нас бытием и тезисом, и — требуется узнать, какие же будут инобытие и антитезис. Теперь уже не просто акт полагания является нашим бытием и не просто единица и даже не просто любое число натурального ряда. Теперь имеем уже все числа натурального ряда, какие только возможны. И переход от такого бытия к инобытию уже не может быть переходом к тем или другим числам, раз все числа уже содержатся в том, от чего мы переходим к инобытию. Инобытие должно дать тут совершенно новые категории, уже нисколько не связанные с количест–венностью и с положением в натуральном ряду. Тут мы переходим к разным типам числа и к их диалеятаческой классификации.

2. Заметим, что та числовая сфера, о которой мы сейчас будем говорить, есть вся сфера, инобытийная в отношении натурального ряда. Вся область натурального ряда теперь превратится для нас в одну нерасчлененную идею, о переходе которой в инобытие, т. е. о ее осуществлении, мы и будем говорить. Как перво–принцип числа со всеми своими внутренними различениями превратился для нас в нерасчлененную идею, когда мы стали говорить о переходе его в другие диалектические ступени (потому что тут важна именно эта дальнейшая судьба перво–принципа, а не его статически указуемая[129]внутренняя структура), и как единица утеряла для нас интерес в своей внутренней структуре, как только мы стали говорить о ее взаимоотношениях с соответствующим инобытием, так и сейчас для нас перестает быть важным внутренняя структура и значение натурального ряда, поскольку начинается речь не о нем самом, но о его дальнейших диалектических судьбах. И мы будем правы, если весь натуральный ряд будем считать некой числовой идеей вообще, которая переходит в свое инобытие, осуществляется и воплощается в своем инобытии. По этой же причине нет нужды в предстоящей главе о типах числа все время говорить об инобытии натурального ряда. Будем помнить в течение всей предстоящей главы, что речь идет именно о сфере, инобытийной в отношении натурального ряда. Называть же мы ее будем просто числовой сферой и будем говорить об осуществлении идеи числа вообще в этой числовой сфере.

Делать это мы будем просто ради избежания излишнего нагромождения терминов, которые все равно будут непонятны, если не будет усвоено общее место типов числа во всей области сущности числа и числа–в–себе. Поэтому вдумаемся лучше в то, что такое инобытие натурального ряда, а как его именовать—это дело второстепенное. Это инобытие, повторяем, не может быть одним из чисел натурального ряда, потому что все эти числа уже предусмотрены в идее натурального ряда. Подлинное инобытие возникнет тут именно тогда, когда возникнут совершенно новые типы числа, возникнут на основе новых актов полагания в этой инобытийной по отношению ко всему натуральному ряду сфере, на основе нового инобытия этих актов, синтеза инобытия этих актов с их бытием и т. д. и т. д.

II. ТИПЫ ЧИСЕЛ (ИНОБЫТИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА) 1. ВНЕШНЕЕ ИНОБЫТИЕ § 91. а) Положительное число.

Имея полное и законченное понятие числа в натуральном ряде и зная его диалектическое происхождение, мы переходим к тому трудному вопросу, который можно назвать проблемой классификации чисел. Труден этот вопрос, конечно, не технически, так как уже на первых страницах алгебры <…> математики с поразительной ловкостью и беззаботностью выставляют очень легкие и понятные определения того, что такое целое, дробное, рациональное, иррациональное[130]числа, и в дальнейшем даже ни разу не возвращаются к определению этих чисел, считая их абсолютно ясными и понятными. Конечно, технически нет ничего проще понять, что такое, например, отрицательное или мнимое число. Для философа, однако, тут залегают огромные логические трудности, по общему обыкновению для философа: что понятнее всего профану, то непонятно философу, и что легко и понятно для философа, то составляет часто непреодолимые трудности для профана. Диалектическая классификация типов чисел, предлагаемая здесь, обладает чрезвычайно большой простотой, если только дать себе труд вдуматься в нее. Для мыслящего требуется здесь только самое элементарное владение диалектическим методом, попросту даже сказать, только понимание основной диалектической триады. Кому понятно вообще, как тезис переходит в антитезис и завершается, возвращаясь в себя, синтезом, тот без труда поймет прилагаемую ниже классификацию, и она будет для него простым и очевидным продуктом элементарного логического анализа. Впрочем, для понимания предлагаемой диалектики типов чисел надо преодолеть трудность гораздо большую, чем владение диалектическим методом. Надо отказаться от высокомерия математических учебников, претендующих на всезнание и решительно все на свете «понимающих» и «знающих». Забудем ту легкость, с которой мы оперировали в школе, когда учитель давал нам задачи с отрицательными и иррациональными величинами. Технически вычислительная легкость не имеет ничего общего с логической четкостью понятия. А мы хотим здесь добиться именно логической, и в частности диалектической, четкости.

2. а) Когда мы говорим о числе, т. е. о числе самом по себе, о числе просто, как оно налично в натуральном ряде чисел, мы не мыслим его ни положительным, ни отрицательным, ни рациональным, ни иррациональным, ни каким–нибудь иным. Понятие числа выводится сначала в виде числа просто. Нужен какой–то новый акт мысли, чтобы перейти от двойки просто к (+ 2), к положительной двойке, не говоря уже о переходе от двойки просто к отрицательной двойке, к (— 2).

Может быть, этот переход от двойки просто к положительной двойке понятен легче всего, и проще всего формулировать его. В самом понятии «положительности» содержится то, без чего невозможен никакой диалектический переход, а именно содержится момент полагания, положения, утверждения, тезиса, того, что потом должно иметь свою особенную судьбу путем перехода в инобытие. Положительное число есть число как тезис, как акт полагания в сфере, инобытийной в отношении натурального ряда. Оно положено, утверждено мыслью, утверждено как некоторый мыслительный факт, как некая смысловая субстанция. То, что число есть число, и то, что число есть субстанция числа, — это совершенно разные вещи.

b) Существует ведь принципиально логическое различие между голой и простой идеей факта и самим фактом. Что это есть, кроме того, еще и разница чисто жизненная, или, так сказать, житейская, это не только не вызывает никаких сомнений, но в данном случае является слишком большой банальностью, чтобы ее фиксировать в таком голом бытовом смысле. Если я имею мысль о 100 рублях, это не значит, что я имею самую эту сумму 100 руб. в кармане. Однако с философской стороны тут перед нами различие прежде всего чисто логическое. Именно, всякий факт в отношении своей идеи есть инобытие этой идеи. Идея как тезис должна перейти в свое инобытие, чтобы стать фактом, вещью, субстанцией, действительностью. Это элементарное положение диалектики. Но интересно, что такая же противоположность идеи и вещи, сущности и явления, смысла и действительности, смысла и факта, субстанции на–лична и в каждом из членов этой [триады]. В пределах самой идеи можно различать идею и факт, идею и ее существование, а также в пределах действительности можно различать разные степени действительности, т. е. прежде всего устанавливать различие идеи и факта. Так, например, строительство какого–нибудь здания, какого–нибудь водопровода, канала и пр. есть, несомненно, нечто действительное, а не идеальное; это есть сфера фактов и субстанций, а не идей и чисто смыслового функционирования. И тем не менее в строительстве мы различаем инженерский проект, план, чертеж, с одной стороны, и физический труд рабочего, осуществляющего этот план, — с другой стороны. Не нужно быть особенно глубоким философом, чтобы здесь [увидеть] простую диалектическую триаду: проект, план, чертеж есть идея, смысл, сущность строительства — его тезис; физический труд рабочего есть факт, субстанция, явление, действительность строительства—его антитезису и, наконец, сама законченная постройка, где целиком осуществился проект и целиком осмыслился и оформился труд рабочего, постройка, которая не есть ни просто идея постройки и ни просто ее вещественная и материальная масса, она есть уже синтез указанных тезиса и антитезиса.

с) Вот точно так же можно различать и разные факты смысла, идейности — в пределах самого смысла и самой идеи. Тут тоже возможны свои триады, свои более абстрактные и менее абстрактные, более конкретные структуры. С переходом от числа просто к положительному числу мы как раз двигаемся от абстрактного к конкретному, от голого абстрактного числа, о котором еще ничего пока нельзя сказать, кроме того, что оно есть просто число натурального ряда, к тому конкретному пониманию числа, которое будет граничить уже с переходом в сферу механики и физики. И все–таки эти разные степени идеальности и конкретности, все эти диалектические триады осуществляются пока еще в пределах самого же числа, т. е. в пределах самой же идеи, и мы еще не переходим тут из сферы математики нилв сферу механики, ни в сферу физики, не говоря уже о дисциплинах еще более конкретных. Это инобытие натурального ряда, но все еще чисто числовое же, а не иное.

3. Итак, положительное число есть акт полагания числа, или число как факт и субстанция в сфере чисто же числовой. Или: положительное число есть числовой тезис, тезис, утверждаемый в сфере самого же числа; это смысловая субстанция, идеальная осуществленность числа в сфере инобытийно–числовой.

Поиск по сайту: