Постоянная, переменная, непрерывная и прерывная величина

1. а) Можно еще продолжить характеристику иррационального числа, пользуясь также одним из приемов общей диалектики. Прием этот заключается в том, что, получивши синтез, вновь начинают рассматривать тезис и антитезис, но уже в свете полученного синтеза; также и самый синтез в свете синтеза получает иную характеристику, детализирующую то, что было выведено раньше. Такой метод есть не что иное, как углубление и детализация полученного синтеза, что можно было бы достигнуть и без этого педантического приема, а просто путем более подробного раскрытия полученного синтеза. Но педантизма тут нечего бояться, гак как порядок и система, вносимые им в хаос математических представлений, никогда не могут быть вредными. Раз есть А и есть В и они тождественны с С, то это возможно только тогда, когда и А, и В, и само С могут быть представлены в свете полученного С и когда станет ясным, что же, собственно, случилось с А и В, когда они вступили в общее тождество и слились до неразличимости в С. Этот прием вносит весьма интересную детализацию изучаемого синтеза: отрицание— дробность — иррациональность; и мы получаем тут ряд очень важных и ходовых понятий математики.

b) Итак, что такое отрицание в свете иррациональности? Так поставленный, вопрос этот звучит не совсем понятно и требует разъяснений. Еще и еще раз вспомним, как диалектика понимает отрицание. Чистое отрицание есть становление, алогическое становление. Когда это становление было отождествлено с абсолютным числом, оно само абсолютизировалось и как бы остановилось, замерло на месте, превратившись в то, что математика называет отрицательным числом; но сейчас мы не связаны абсолютным числом, а берем отрицание само по себе, т. е. берем его как чистое алогическое становление. Во что оно превращается, если мы его станем рассматривать в свете иррациональности? Другими словами, что нужно сделать с чистой отрицательностью алогического становления, чтобы получить из него иррациональность? Собственно говоря, алогическое становление уже само по себе есть нечто иррациональное, хотя еще и не есть иррациональное число. Иррационально оно потому, что оно внутренно нерасчленимо, сплошно, да и само название «алогическое», употребляемое нами все время, есть то же, что и «иррациональное», хотя, повторяем, это еще не значит, что отрицательно данное[177]становление тем самым есть уже иррациональное число. Однако если чистая отрицательность становления есть нечто иррациональное, то вопрос о ней как о данной в свете иррационального может быть только вопросом о том, что делается с отрицанием, если внести в него именно момент числа, момент устойчивой числовой структуры, какую мы нашли в иррациональном числе. Чтобы не [сбиться] с ясного диалектического пути, будем твердо помнить, что это не может быть внесением в отрицательность структуры абсолютного числа, что мы уже имели в случае с отрицательным числом. Когда мы берем чистую отрицательность и объединяем ее с абсолютным числом, мы, как надо помнить, получаем отрицательное число. И сейчас речь не об этом. Мы вносим в чистую отрицательность момент не абсолютного числа, т. е. момент не того числа, о котором нельзя сказать ни того, что оно положительное или отрицательное, ни того, что оно целое или дробное, и т. д. (стало быть, число просто), но как раз — момент иррационального числа. И поэтому в результате должно получиться уже никак не просто отрицательное число, а нечто другое. А так как в отрицательности уже есть иррациональность и мы не уничтожаем ее отождествлением с абсолютным числом, то внесение в нее момента иррационального числа есть не что иное, как внесение момента числа, но без остановки становления, являющегося сущностью отрицания, а, наоборот, с сохранением этого становления, поскольку без него немыслимо вносимое сюда иррациональное число.

Но что же получается? Надо внести устойчивую числовую структуру в стихию чистого становления. Прежде чем к этому приступить, сделаем еще одно предварительное замечание или, вернее, напоминание. Иррациональное число трехсоставно: в нем есть измеряемое, измеряющее и само измерение. То же и в рациональном числе. В рациональном, иррациональном и мнимом числе есть внутреннее содержание, внешнее инобытие и тождество того и другого в едином выразительном лике. Следовательно, внося в чистую отрицательность и в становление момент устойчивой числовой структуры, как она входит в иррациональное число, мы вносим сюда и антитезу внутреннего и внешнего, даваемую с точки зрения того или иного определенного их взаимоотношения. Значит, получится становящееся число, являющее в процессе своего становления определенное взаимоотношение своего внутреннего и внешнего содержания. Вот к какому результату мы приходим, если начнем рассматривать чистую отрицательность действительно в свете иррационального синтеза.

2. Теперь мы можем перейти и к терминологической фиксации изучаемой диалектической позиции. Число, рассмотренное с точки зрения [тождества] внутреннего и внешнего в условиях чистого становления, есть переменная величина. Эта категория переменной величины, как она ни проста сама по себе, требует диалектического разъяснения, потому что эта простота есть простота только вычислительная, а не диалектическая. Диалектически же формулировать эту категорию не так уж просто. Сущность переменной величины, как она употребляется в математике, сводится также к трехсоставной структуре, поскольку самая категория ее возникает на почве внесения сюда момента иррационального числа. Эта трехсо–ставность выявлена здесь в том смысле, что 1) переменная величина в основе своей содержит некую внутреннюю числовую структуру, что 2) эта структура может принимать те или иные числовые значения, являющиеся по сравнению с нею самою внешним ее выражением, и, наконец, 3) что эта структура не только может принимать разные числовые значения, но и фактически принимает их и в действительности, таким образом, совершенна и не остается неизменяемой. Ни один из этих моментов не может быть исключен из понятия переменной величины, но они возникают лишь на почве сравнения чистого становления с синтетической внутренно–внешней структурой; когда мы говорим, что радиус в круге есть величина постоянная для данного круга, то это постоянство возможно только как результат сравнения численного, т. е. внешнего, значения радиуса с самим радиусом, понимаемым как некая внутренняя значимость. И когда мы говорим, что расстояние от центра тяжести качающегося маятника до точки его равновесия есть величина переменная в процессе качания, то и тут самое суждение об этой переменной величине возникает только в результате сравнения величин этого расстояния с самим расстоянием, взятым в наибольших размерах. Везде тут эти три слоя — внутренний, внешний и возникающее из их сравнения тождество — имеются в элементарно очевидном и непререкаемом виде.

3. Но и само понятие переменной величины все еще настолько обще, что вполне возможна и необходима также и дальнейшая детализация. Прежде всего само собой понятно, что раз есть переменная величина, то должна быть и постоянная величина. Постоянную величину иногда и определяют в математике как переменную, приращение которой равно нулю; постоянная величина есть, таким образом, вид переменной величины. И нет нужды распространяться в трехсоставности категории постоянной величины, потому что если отношение окружности к диаметру во всех кругах одинаково и есть величина постоянная, то утверждать это можно, естественно, только когда 1) есть в уме само это отношение, 2) есть отвлеченная мысль о возможности этому отношению меняться в связи с размерами круга и 3) есть полная фактическая невозможность для этого отношения быть изменчивым. Это элементарно очевидно. Очевидно также и то, что постоянная и переменная величины находятся между собою в состоянии взаимной противоположности, что если одну из этих категорий принять как тезис, то другая будет обязательно антитезисом. Будем считать постоянную величину тезисом той общей сферы становящейся отрицательности, которая рассматривается нами в свете иррационального числа. Тезис всегда ведь есть только потенция антитезиса и как бы сам антитезис, но в нулевой форме. И естественно постоянную величину принять как тезис и переменную как антитезис, хотя в порядке нашего исследования и ради определенных целей понятности мы пришли сначала к переменной величине и хотя ровно с тем же правом можно было бы переменную величину считать тезисом, а антитезисом — постоянную. Интереснее другое. Интереснее вопрос, что же получится из соединения постоянной и переменной величин в один единый диалектический синтез. Интереснее то, какая новая категория возникает, если мы зададимся целью дать внутренно–внешнее тождество алогически становящегося числа, являющегося сразу и постоянной, и переменной величиной. Перейдем к этому.

4. Тут возникает одно из фундаментальных понятий всей математики, и в особенности математического анализа; и здесь мы должны соблюсти сугубую осторожность, субтильность диалектического исследования. Именно, здесь рождается категория непрерывности, непрерывной величины.

а) Что непрерывная величина есть вид переменной величины, это ясно само собой. Непрерывно то, что меняется или что может меняться. Перемена логически предшествует непрерывности, ибо перемена может быть и непрерывной, и прерывной. Но должно быть столь же ясным и то, что непрерывность есть также вид постоянства. Чтобы быть непрерывным, надо, во–первых, меняться. Но поскольку не всякое изменение непрерывно, необходимо еще дополнительное условие. Необходимо, чтобы вещь не только переходила от точки А к точке β, но чтобы этот переход не приводил вещь к разрыву, т. е. чтобы точка А в то же время не отрывалась от точки В. Как это ни странно с иной точки зрения, но непрерывность— только там, где действительно нет ни малейшего перерыва между отдельными моментами изменения вещи. Иначе для чего и употреблять такой термин? Однако отсутствие перерыва между отдельными моментами изменения есть в конце концов какое–то отсутствие различия между ними. Они различны так, что в то же время остаются вполне тождественными между собою, как и тождественны они — в меру своего различия. Но величина, которая меняется так, что между отдельными моментами ее изменения нет ровно никакой разницы, уже не есть величина переменная. Это, наоборот, величина вполне постоянная. И таким образом, постоянство и изменение должны в одинаковой мере войти в непрерывность, которая и есть такое изменение, что изменяющееся остается постоянным, и такое постоянство, что постоянное пребывает в измененном. Непрерывность без изменения есть только абстрактное и неподвижное тождество разных теоретически установленных смысловых моментов; в ней нет никакого движения, так что неизвестно, как же происходит переход от одного момента к другому в случае, именуемом как непрерывное движение. Непрерывность без постоянства есть чисто алогическая стихия, в которой становится неизвестно что и в которой нет никакого расчленения, так что неизвестно, что же именно непрерывно. В обоих случаях непрерывность вполне перестает быть непрерывностью и становится прерывностью. Итак, непрерывность есть безусловное тождество постоянства и изменения.

b) Мало этого. Можно ли непрерывность назвать только безусловным тождеством постоянства и изменчивости? Такое определение и наименование было бы совершенно правильным, если бы всегда отдавался точный отчет в употреблении терминов «постоянство» и «изменчивость». Обычно не обращают внимание на то, что оба эти понятия указывают не на плоскостную, но рельефную, а именно трехсоставную, структуру. Постоянным и переменным может быть только то, в чем есть противоположность внутреннего и внешнего и в чем эта противоположность определенным образом уравновешена. Как мы уже видели, переменно то, что, во–первых, есть нечто само по себе, — скажем, число, — а во–вторых, принимает разные внешние значения, — скажем, количественные размеры. Тогда, зная, что эти значения здесь наличны фактически или потенциально, мы именуем данную величину переменной. Раз переменная и постоянная величины вошли в непрерывную величину, то тем самым в последнюю вошла и уравновешенная антитеза внутреннего и внешнего. Непрерывно то, в чем внутреннее и внешнее так совпали в единое нерушимое тождество, что уже нельзя сказать об этом тождестве, постоянно ли оно или переменно, и необходимо говорить, что оно в одинаковой мере и постоянно, и переменно.

Что было бы, если бы имелось только одно тождество постоянства и изменчивости, и в это тождество не вносилась бы антитеза внутреннего и внешнего, и понятия постоянства и изменчивости обладали бы чисто плоскостным характером, не указывая ни на что внутреннее и внешнее? В этом случае мы имели [бы] голое и пустое становление, которое хотя и мыслится вначале как непрерывное, но не есть сама непрерывность, ибо может быть и прерывным. Становление плоскостно, поскольку в нем совершенно не ставится вопроса о характере становления. Оно, взятое само по себе, не структурно, ибо оно — лишь первый результат синтеза бытия и небытия; и та реальность, которая ему свойственна (а реальность тут не может не быть, поскольку тут тоже налична трех–составность бытия, небытия и самого становления), совсем не та, которая давала бы структуру уже готовому становлению. Становление, взятое без антитезы внутреннего и внешнего, есть только принцип, в то время как непрерывность есть уже приложение этого принципа. Становление не структурно как становление; непрерывность же есть определенное структурное оформление самого становления. В становлении поставлен вопрос: перешло ли бытие в небытие или нет? И разрешен положительно: да, бытие здесь перешло в небытие и синтезировалось с ним. Совсем другой вопрос стоит в сфере непрерывности. Если бы здесь стоял такой вопрос, то в сфере непрерывности шла бы речь о том, стоит ли на месте данная вещь или развивается. Но разве этим мы интересуемся, когда говорим о непрерывности? Тут вовсе дело не в том, движется ли данная вещь или покоится. Этого очень мало для понятия непрерывности. Дело здесь в том, что вещь уже пребывает в становлении, что становление здесь уже сформировано и не прекращается ни при каких условиях, и только говорится о том, какое же именно тут становление, какова структура этого становления. Именно, в сфере непрерывности ставится такой вопрос: если мы будем придавать становящейся величине то или иное значение, то будет ли эта становящаяся величина функционировать по–старому или нет? Становление уже налично, уже действует, и спрашивается: всегда ли одинаково оно будет действовать, если оно будет действовать в том или ином направлении, или же это направление действия оказывает влияние на самое действие? И когда имеется в виду непрерывность, ответ гласит: никакое направление становления, т. е. никакое оформление его в количественные отношения, не действует на становление как на становление, и последнее остается самим собою в течение всего своего протекания через разные количественные значения. Тут ясно происхождение антитезы внутреннего и внешнего. Как в переменной величине наличны, во–первых, сама числовая структура, а во–вторых, ее количественные значения, так в непрерывной величине наличны, во–первых, становящаяся числовая структура, а во–вторых, те или иные ее количественные значения. Как в случае с переменной величиной мы устанавливаем подвижность ее количественных значений при неподвижности внутреннего остова, носителя этих зна[че]ний (например, в формуле пути S падающего в пустоте тела в зависимости от времени t, S =_ot² где g₀ = 981 см/сек., мы имеем переменные величины S и t при неподвижности самой формулы для g₀) так и в случае с непрерывной величиной мы устанавливаем непрерывность ее количественных значений при неподвижности и прерывности внутреннего остова, носящего на себе эти непрерывно становящиеся значения, т. е. при неподвижности самого принципа становления, в которое погружена данная величина. Упомянутая формула для пути падающего тела — и в случае толкования величин как переменных, и в случае толкования их как непрерывных— одинаково предполагает один основной и первоначальный факт, а именно, что тело падает. И только этот общий для обоих случаев и внутренний для своей внешней значимости факт по–разному проявлен вовне. Когда мы говорим о непрерывной величине, то точки применения к ней той или иной количественной значимости настолько близки одна другой, что они уже готовы слиться и фактически сливаются. В этом и заключается вся особенность непрерывности, а противоположность (уравновешенная) внутреннего и внешнего равно в той же мере свойственна непрерывной величине, как и просто переменной.

5. Если мы вспомним те рассуждения, которые обычно сопровождают в математике тему о непрерывных величинах и функциях, то легко убедиться, что эти рассуждения возможны только на основе развитого здесь диалектического учения.

Элементарное определение непрерывной величины сводится в математике к тому, что разница между двумя значениями данной величины может стать меньше любой заданной величины. Если данная величина именно такова, что к любой точке ее становления применимо условие исчезающе малого расстояния ее от соседней точки, то эта величина — непрерывна.

Уже тут выясняется необходимость вводить в понятие непрерывности как тождество постоянного и переменного, так и тождество внутреннего и внешнего. Первое тождество образует собою всю стихию алогического становления, без которого не могло бы происходить движение, но [с] исчезающе малым расстоянием; второе же тождество обусловливает собою антитезу самой величины с теми или другими ее отдельными значениями.

Далее, хотя мы еще не раскрыли понятия функции, все же можно, базируясь не на диалектическом, а пока на чисто математическом ее понимании, привлечь сюда и обычное определение непрерывной функции. Как известно, функция называется непрерывной в данной точке тогда, если ее значение в данной точке может быть с какой угодно точностью выражено через всякое другое ее же значение при условии достаточной близости аргументов к этой точке, другими словами, для непрерывности функции <f(x)> необходимо и достаточно, чтобы если есть какое угодно малое положительное число &#949;, то всегда существует тоже другое число [&#948;], в силу которого для всех точек, где </&#967; — &#945;/<&#948;>, существует также неравенство

</f(x) — f(a)/<&#949;> ·

Иначе:

<Iim &#402;(x) = &#402;(a) = b).

В точке [b ] функция указывается тем пределом, к которому стремятся значения любого ряда чисел, стремящихся к пределу. Если <&#402; (х)> стремится к [b ] как к своему пределу, то этот предел равен как раз значению функции от [х]₉ когда [х] станет равным [а]. Это определение непрерывной функции обязательно предполагает, что 1) уже есть становление двух величин, т. е. тождество постоянства и изменчивости, становление функционально связанных между собою величин, что 2) это становление облекается в новую форму, принимая те или иные значения, откуда антитеза внутреннего и внешнего, и, наконец, что 3) эта новая форма развивается так же последовательно, как и само становление, теоретически взятое. Иначе говоря, в непрерывной функции точно так же, как и вообще в непрерывной величине, чистый алогизм и не–расчлененное становление объединяются с антитезой внутреннего (основная структура) и внешнего (отдельные количественные значения) содержания.

Говоря о том, как определяется непрерывность в математике, стоит привлечь рассуждение Дедекинда о сечениях в области вещественных чисел, с которым мы уже столкнулись выше, в [§ 60.7]. Аксиома непрерывности вещественных чисел гласит, как мы помним, следующее. Пусть мы имеем две области вещественных чисел А и 5, о которых известно, что каждое вещественное число принадлежит или к А, или к В и что всякое число а из А меньше всякого числа b из В. Называя эту границу, делящую область всех вещественных чисел, разделом или сечением, получаем следующую аксиому непрерывности вещественных чисел: сечение Дедекинда в области вещественных чисел определяет всегда одно, и только одно, вещественное число [с] так, что всякое [а < с ], всякое [b > с]. Сразу как будто бы не видно тождество этой аксиомы непрерывности с развитым у нас учением о непрерывности. Но отдадим себе отчет в том, что значит эта аксиома. Тут имеется в виду та самая диалектика границы, которая развивается в общей диалектике. В общей диалектике доказывается, что 1) граница есть часть ограниченного и что 2) граница в то же время есть часть ограничивающего, т. е. что граница отличается от ограниченного и ограничивающего и граница тождественна с тем и другим. Это обеспечивает для границы и способность ее отделять одну область от другой, и в то же время незанимаемость ею никакого специального места, которое бы имело хоть какие–нибудь размеры. Такую границу, или сечение, можно провести в любом месте общей сферы вещественных чисел, и во всяком таком месте все числа, примыкающие с одной стороны, подходят к этой границе настолько близко, что вполне сливаются с нею, равно как и все числа, примыкающие с другой стороны, тоже подходят к ней настолько близко, что вполне сливаются с нею. Это строение сферы вещественных чисел и называется непрерывностью. Существует только одна и единственная точка, разделяющая обе сферы чисел. И если бы общая сфера вещественных чисел была бы прерывна, то граница, отделяющая здесь одну область от другой, отнюдь не везде была бы равна точке. В местах разрыва эта граница имела бы то или иное протяжение, которое измерялось бы уже линейными мерами, а не оставалось бы просто точкой, не имеющей ни одного измерения.

Теперь спросим себя: можно ли утверждать существование раздела Дедекинда и, стало быть, можно ли утверждать непрерывность вещественных чисел, если мы не будем знать ничего о количественном значении чисел а и b, входящих в ту или иную область чисел А и &#914;&#906; Совершенно понятно [178], что общая линия, символизирующая нарастание вещественных чисел при передвижении слева направо, должна быть здесь еще раз перекрыта новым слоем исчисления, который бы показал, что реальные количественные значения отдельных ее точек могут приближаться друг к другу как угодно близко, вплоть до полного слияния. Стало быть, оба основные момента, входящие в понятие непрерывности, здесь налицо — алогическое становление и определенным образом уравновешенная противоположность внутреннего и внешнего.

То же самое необходимо сказать и о той теореме, т. н. теореме включения, которая является прямым выводом из аксиомы непрерывности. Пусть нам даны интервалы прямой так, что они оказываются вложенными один в другой, причем длины этих интервалов уменьшаются как угодно много и становятся меньше всякой любой заданной величины. В таком случае и возникает теорема включения: существует всегда одна, и только одна, точка, которая принадлежит всем интервалам одного включения. Интервалы включения стремятся к этой точке. Здесь еще виднее то перекрытие, которому подвергается данная линия, когда мы укладываем на ней все меньшие и меньшие интервалы. Из этого перекрытия ясно и само доказательство этой теоремы. Доказательство это заключается в том, что если бы было две таких точки включения, а не одна, то длина всех интервалов не могла бы быть меньше расстояния между этими точками или в крайнем случае равнялась бы ему, а мы условились, что длина интервала может стать меньше любой заданной величины. Все время, значит, идет разговор, во–первых, об определенной линии, а во–вторых, о ее новом перекрытии, и, в–третьих, устанавливается определенное отношение между тем и другим. Первое, конечно, есть внутренний остов для второго, являющегося чем–то внешним и, отвлеченно рассуждая, даже необязательным; третье же есть специальное тождество первого и второго. Все три момента разыгрываются, кроме того, всецело в сфере чисто алогического становления (в данном случае бесконечно дробящихся интервалов).

6. Три категории — постоянная величина, переменная величина и непрерывная величина — освещены нами достаточно для наших целей. Все они определены как синтетическое тождество внутреннего числового содержания и его внешнего фактического осуществления, в чем их полная аналогия с иррациональным числом. И все они являются не чем иным, как стихией алогически становящейся отрицательности, рассмотренной в свете иррационального числа, или — иррациональным числом, рассмотренным в свете алогически становящейся отрицательности. Наметили мы и между этими тремя категориями определенное взаимоотношение. Они связаны между собою как диалектическая триада, в которой постоянная величина, являясь тезисом, полагает собою упомянутое тождество как «неподвижное», т. е. как различно–самотождественное бытие, переменная же, являясь антитезисом, дает это тождество как подвижное инобытие, точнее, как устойчиво подвижное инобытие; и наконец, непрерывная величина, являясь синтезом бытия и инобытия в некоем новом становлении, утверждает общую определенную единичность внутренней дробности и внешней отрицательности как синтез постоянного и переменного. В точных диалектических формулировках эти три категории имеют следующий вид. Общей сферой для них является алогически становящаяся отрицательность, рассмотренная как иррациональное число, т. е. как тождество внутренней дробности и внешнего алогического становления, или, наоборот, — это самое тождество, рассмотренное как алогически становящаяся отрицательность. Отсюда и — наши формулы.

Величина [постоянная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность— в своем (неподвижном) самотождественном различии.

Величина [переменная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность в своем (подвижном покое].

Величина [непрерывная) есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как новое алогическое [становление]. Или: непрерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как синтез постоянной и переменной величин.

Короче: постоянная величина есть иррациональность в своем самотождественном различии, переменная—иррациональность в своем подвижном инобытии; непрерывная величина — иррациональность как становящийся синтез (или определенная единичность) постоянной и переменной величин.

Все эти определения и введенные для них термины надо понимать исключительно так, как это было разъяснено в предыдущем анализе. Всякое малейшее отклонение от принятого выше понимания терминов способно превратить все эти формулы в полную бессмыслицу. Так, нельзя «отрицательность», «отрицание» понимать чисто арифметически или алгебраически. Отрицание здесь есть диалектическое инобытие утверждения, а не просто действие, которое в математике обозначается знаком минуса. Для подчеркивания этого обстоятельства в формулу введены слова «алогическое» и «становящееся», хотя, строго говоря, достаточно было бы употреблять только один из этих терминов. Нечего, далее, удивляться, например, тому, что момент «дробности» введен в определение постоянной величины. Постоянство как противоположность изменчивости содержит в себе последнюю на стадии нуля, т. е. потенциально. А всякая изменчивость возможна только там, где имеется частичная проявленность, т. е. некое дробящееся и, следовательное, дробное основание. Так же и «бытие» нужно понимать в этих формулах так, как мы понимаем эту категорию в общей диалектике: бытие здесь — твердо полагаемое нечто, устойчивое или, вернее, пока еще не перешедшее от чистой положенности ни в какие иные качественные обстояния. Это именно и закрепляет алогическое становление на одной точке и превращает его длительную стихию в неподвижную значимость постоянного количества. И т. д. и т. д. Разъяснять эти термины во второй раз не стоит. Нужно только напомнить, что эти термины взяты в строго определенном и специфическом значении. А даже если лучше было бы употребить какие–нибудь другие термины, то от этого существо дела не изменилось бы. Важна в конце концов не словесная оболочка термина, а его внутренняя смысловая значимость.

7. Три изученные категории возникли как рассмотрение в свете цельной иррациональности — первого момента, входящего в иррациональное число, а именно в свете отрицания. Но мы знаем, что иррациональность есть синтез внешнего отрицания и внутренней дробности. Последняя также может быть рассмотрена в свете иррациональности. И что же получится из этого? Надо, стало быть, взять дробное число, но — погрузить его в стихию иррационально становящегося тождества постоянства и изменчивости. Когда мы сделали вывод трех указанных категорий, мы погружали иррациональность в чистое становление; алогически становящаяся отрицательность застигала там чистую иррациональность и превращала ее в непрерывно текучую форму становления, т. е. в непрерывность. Теперь, наоборот, выступает не внешнее алогическое становление на первый план, но внутренняя дробность, и она является здесь главным предметом внимания. Но в иррациональности главное — это определенным образом данное тождество внутреннего и внешнего. При выводе трех разнообразных категорий это тождество внутреннего и внешнего дано внешними и притом алогически становящимися средствами. Теперь же мы должны дать это тождество внутреннего и внешнего внутренними и притом дробно осмысленными средствами. В первом случае все отдельные моменты текучей иррациональности сливаются в одну непрерывную массу, во втором же случае те или иные (а может быть, и все) моменты текучей иррациональности разрываются ввиду привхождения дробящей силы внутреннего числового содержания. В первом случае мы, придавая те или иные количественные значения данной величине, убеждаемся, что любая точка становления этой величины способна подвергнуться той или иной количественной значимости без риска прервать равномерное протекание самой величины в смысле возрастания или убывания. Мы сравниваем тут возрастание или убывание величины с самой величиной и убеждаемся, что величина продолжает везде действовать так же, как и раньше. Иная картина — в новом случае, когда привходит внутренняя дробность. Тут тоже продолжается непрерывное протекание величины в том или ином направлении. Но тут, начиная сравнивать эти нарастающие значения величины с самой величиной, мы находим, что отнюдь не всегда и не везде эти значения обладают способностью соответствовать равномерному действию самой величины. Сама величина, т. е. ее внутреннее содержание, дробна; и потому надо, чтобы эта дробность как–нибудь отразилась на непрерывном протекании величины. Должна получиться дробная, т. е. частичная, непрерывность, а не та полная, которой раньше соответствовала в качестве внутреннего числового содержания целость. Но что такое частичная непрерывность? Частичная непрерывность есть прерывность. В прерывной величине мы и находим такую иррациональность, которая дана как внутренняя дробность числового содержания.

В прерывной величине, как и в непрерывной, имеется обычная антитеза внутреннего и внешнего, синтезированная как рациональное и как иррациональное число. Но когда эта антитеза залита внешне–становящимся материалом, тогда в ней не проявляется никакое начало, которое бы вносило ту или иную раздельность или расчлененность в образующийся общий непрерывный поток становления величины. Когда же начинает выступать дробность вместо алогического протекания, непрерывность начинает внутренне различаться и разделяться и — переходит в свою противоположность, в величину прерывную.

Таким образом, прерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данная как внутренняя дробность. Или короче: прерывная величина есть иррациональность, данная как внутренняя дробность.

Можно и здесь расчленить понятие на три последовательных диалектических этапа, отграничивая непрерывность сначала извне и тем полагая для нее прерывные границы, потом — внося дробление вовнутрь непрерывности и тем полагая различные границы внутри нее самой и, наконец, — давая чистое и общее понятие дробной непрерывности, или прерывности вообще. В первом случае мы получим непрерывность в определенных пределах, т. е. между определенными точками; во втором — непрерывность в одной точке и в третьем, наконец, — прерывную величину в общем и собственном смысле слова.

Кажется, примеры прерывной величины для демонстрации вышеизложенного понятия прерывности излишни. Но все–таки возьмем какую–нибудь прерывную функцию и отметим на ней указанные нами моменты этой категории. Пусть имеется функция tga; при возрастании &#945; от 0° до 90° тангенс возрастает от 0 до +&#8734;. При дальнейшем[179]увеличении &#945; от 90 до 180° тангенс изменяется от —&#8734; до 0. В моменте, когда угол равняется 90°, происходит разрыв тангенса и он [от] + &#8734; мгновенно переходит к — &#8734; Имея это в виду, спросим себя: что нужно для осуществления этого разрывного момента и какие категориальные моменты его конструируют? Нужно, во–первых, чтобы речь касалась становления и, во–вторых, не просто становления, но становящегося а, [что] должен быть переменной величиной. В–третьих, этот а не просто есть переменная величина, но он должен и фактически меняться, причем это изменение есть опять–таки не просто изменение, но изменение, в котором бы целиком воплощалось становление как таковое, т. е. изменение непрерывное. И вот, наконец, когда &#945; непрерывно изменяется от 0 к 90°, мы, наконец, вдруг замечаем это удивительное[180]явление, что данная функция tga разрывается и лишается своей непрерывности. От чего это зависит? Это зависит исключительно от внутреннего чисто смыслового содержания тангенса, который именно потому, что он — тангенс, производит разрыв в точке 90°. Стало быть, необходимо, в–четвертых, чтобы внешнее непрерывное изменение получало отдельную структуру от внутренней значимости этого tga. В данном случае эта внутренняя значимость действует как <…> и — в определенной точке разрывает протекание tga. На этом примере совершенно ясно участие в категории прерывной величины таких моментов, как становление, изменение, непрерывность, внутреннее и внешнее и синтез внутреннего и внешнего.

Между прочим, на этом примере с тангенсом прекрасно видно то диалектическое понимание дробности, которое мы употребляем здесь и употребляли раньше. Дробность у нас не есть просто арифметическое понятие. Дробность есть целость, данная в своем инобытии так, что имеется только это инобытие целости, а не сама целость. В этом смысле тангенс есть дробящая и дробящаяся стихия, потому что ее внешний результат приводит к разрыву и дроблению цельного, структуры становления.

Поиск по сайту: