Импульсная и переходная характеристики линейной цепи

Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию линейной системы теоретически на любой входной сигнал, зная всего одну функцию – реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию . Эту реакцию называют импульсной характеристикой линейной цепи (системы) и обозначают . Различные виды реальных импульсных характеристик линейных цепей показаны на рис. 6, а.

Рис.6. Характеристики линейной цепи:

a – различные виды импульсных характеристик;

б– переходная характеристика.

Откликом линейной цепи на единичную функцию является переходная характеристика (рис. 6, б). Кстати заметим, что если входной и выходной сигналы линейной цепи имеют одинаковую размерность, то импульсная характеристика, как и дельта-функция времени, имеет размерность частоты.

Положим, что требуется определить выходной сигнал линейной цепи (линейного четырёхполюсника), если известны её импульсная характеристика и входной сигнал . Заменим приближённо кривую входного сигнала ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность (рис.7, а).

Формирование выходного сигнала можно пояснить следующим образом. Достаточно малый «кусочек» входного сигнала длительностью подаётся на вход анализируемой цепи. Подачу такого импульса в систему можно рассматривать как «мгновенный удар» по ней. Как отреагирует (откликнется) линейная система на такое применение импульса на входе?

Рис.7. Представление сигнала элементарными

прямоугольными импульсами

Если выбрать длительность (рис.7) прямоугольных импульсов бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счёту прямоугольный импульс будет приближённо равен отклику той же цепи на дельта- функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь первого импульса, т. е. (рис. 7, б). Откликом линейной цепи на второй импульс с достаточной точностью является произведение , где – площадь этого импульса, а величина – импульсная характеристика линейной цепи, соответствующая моменту времени . Следовательно, для некоторого произвольного момента времени ( – число условно сформированных импульсов, приходящихся на интервал времени ) отклик линейной цепи приближённо выразится такой суммой

(см. штриховые линии на рис. 7, б):

Если длительность импульсов , отражающих входной сигнал, последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени превращается в , а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной :

………… (25)

Для реальных линейных цепей всегда при . Поэтому выражение (25) можно записать в более общей форме:

…… (26)

Это соотношение, имеющее фундаментальное значение в теории линейных цепей, представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля. Напомним, что данный интеграл в математике называют свёрткой двух функций. (Знак означает свёртку двух функций).

Таким образом, линейная система осуществляет свёртку входного сигнала со своей импульсной характеристикой, в результате чего получается выходной сигнал.

Формула (26) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная цепь, выполняя обработку входного сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом». В теории электрических цепей часто применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля:

. ……… (27)

К интегралу Дюамеля можно прийти и аналитическим путём. Известно, что любой сигнал может быть представлен в виде свёртки самого себя с дельта- функцией (2.78, В.И. Нефёдов, 2009г.):

Линейная система преобразует относительно переменной все функции, входящие в это выражение. При этом входной сигнал преобразуется в выходной сигнал , а дельта-функция –

в импульсную характеристику . Функция не зависит от переменной , и поэтому остаётся без изменений. В результате получается формула, показывающая, что выходной сигнал линейной системы с постоянными параметрами равен свёртке входного сигнала с импульсной характеристикой системы

. ………… (28)

Определим связь импульсной характеристики с частотным коэффициентом передачи линейной цепи. Воспользуемся гармоническим сигналом единичной амплитуды, записанным в комплексной форме

. Подставив это выражение в (4.22 В.И. Нефёдов, 2009 г.) и вынеся его за знак интеграла, находим отклик цепи

Интеграл в скобках является комплексной функцией частоты

…… (29)

и представляет частотный коэффициент передачи (здесь сделана формальная замена переменной на ).

Выражение (29) устанавливает чрезвычайно важный факт –частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной цепи связаны прямым преобразованием Фурье.

Очевидно и наличие обратного преобразования Фурье для коэффициента передачи и импульсной характеристики

, ………… (30)

с помощью которого можно легко определить импульсную характеристику цепи по ее частотному коэффициенту передачи.

Поиск по сайту: