Дельта-функция

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:

………… (12)

При любом выборе параметра площадь этого импульса всегда будет равна единице:

Например, если – это напряжение, то .

Пусть теперь величина стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при носит название - функции, или функции Дирака:

В) г)

Рис.5. Дельта-функция

а, б – графическое представление; в – сдвиг дельта-функции;

г – спектральная плотность

Дельта-функция – интересный математический объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением точки (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом:

………………. (13)

Этот импульс аналитически выражается формулой

......................... (14)

Площадь такого импульса всегда равна единице:

................................ (15)

Функцию называют дельта-функцией, единичным импульсом, или функцией Дирака, и она имеет физическую размерность циклической частоты .

Дельта-функция является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).

При сдвиге - функции по оси времени на интервал (рис.5, в) выражения (14) и (15) необходимо записать в более общей форме:

................... (16)

........................... (17)

Разумеется, сигнал в виде дельта-функции невозможно реализовать

физически. Однако теоретически дельта-функцию можно рассматривать как

предел, к которому стремится прямоугольный импульс длительностью и

амплитудой при (рис. 5, б).

Дельта-функция обладает важнейшим свойством, благодаря которому она получила широкое применение в математике, радиотехнике, теории

связи и т.д.

Пусть имеется непрерывная функция (аналоговый сигнал) времени . Тогда, согласно формулам (16) и (17), справедливо следующее соотношение:

.............. (18)

Дельта-функция обладает важнейшим свойством, благодаря которому она получила широкое применение в математике, физике, электротехнике и радиотехнике.

Формула (17) становится понятной, если учесть, что по определению функция будет равна нулю на всей оси времени, кроме точки . Это позволяет сделать интервал интегрирования бесконечно малым, включающим в себя точку . В этом интервале функция принимает единственное постоянное значение в точке , которое можно вынести за знак интеграла. Соотношение (18) характеризует фильтрующее (выделяющее, или стробирующее) свойство дельта-функции. (Термин «стробирующий импульс», или «строб-импульс» используется в радиолокации и означает короткий вспомогательный прямоугольный импульс, служащий для выделения необходимого сигнала).

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования единичной функции является дельта-функция

. ……….. (19)

Соответственно

. ………… (20)

Поиск по сайту: