|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Преобразование Фурье с комплексным параметромПусть функция задана в промежутке и удовлетворяет условиям теоремы 1: Пусть функция определена в промежутке и удовлетворяет следующим условиям. 10. Функция − кусочно непрерывна и имеет ограниченное изменение в любой конечной части промежутка ; 20 . Функция абсолютно интегрируема в промежутке . Тогда функция может быть представлена в виде разложения в интеграл Фурье:
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, причем в точке разрыва первого рода левая часть этой формулы должна быть заменена подсуммой . или теоремы 2: Если функция имеет ограниченное изменение во всем бесконечном промежутке и, сверх того, выполняется предельное равенство , где - дельта-функция Дирака, то в каждой точке интеграл Фурье сходится и имеет значение . Тогда имеет место интегральная формула Фурье , и, следовательно, (4.5.1) . Пусть (4.5.2) Пусть, кроме того, , если , и ,если . Рассмотрим интегралы , (4.5.3) , (4.5.4) где . Заметим, что интеграл (4.5.3) (или (4.5.4)) является несобственным интегралом, зависящим от переменной как от параметра. Очевидно, что интеграл (4.5.3) (или (4.5.4)), вообще говоря, сходится не при всех значениях параметра . Имеет место Теорема 3. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям. 10. Функция кусочно непрерывна и имеет ограниченное изменение в любой конечной части промежутка 20. Функция абсолютно интегрируема в промежутке 30. Функция , если . Тогда 1) если , то функция , определяемая формулой (4.5.3), является аналитической функцией в верхней полуплоскости - плоскости, причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно ; 2) если , то функция является непрерывной функцией по и стремится к нулю при . 3) справедливо равенство (4.5.5) где интеграл берется вдоль любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости. Доказательство. Первая часть первого утверждения данной теоремы следует из: 1) из равномерной сходимости интеграла (4.5.3) для любого , ибо он в силу условия 20 мажорируется сходящимся интегралом: не содержащим параметра ; 2) равномерной сходимости интеграла где – любое натуральное число, для любого , поскольку этот интеграл в силу условия 20 мажорируется сходящимся интегралом: для любого . Так как функция в любой точке полуплоскости -плоскости обладает производной любого порядка , то она является аналитической функцией в этой полуплоскости. Действительно, представив функцию в виде где (4.5.6) и вычислив производные убедимся в том, что функции и являются гармоническими функциями, удовлетворяющими условиям Коши- Римана: . Следовательно, функция является аналитической функцией в полуплоскости -плоскости. Из (4.1.6) видно, что функции и стремятся к нулю при в любом случае (если, например, , то и стремятся к нулю в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега, так как функция с учетом условия 20 является абсолютно интегрируемой функцией в промежутке ). Первое утверждение данной теоремы доказано. Второе утверждение данной теоремы доказано в книге В. Д. Кулиева «Сингулярные краевые задачи». Теперь докажем справедливость равенства (4.5.5). С помощью (4.5.3) и (4.5.6) получаем (4.5.7) Пусть . В этом случае в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега, из (4.5.7) получаем (4.5.8) Пусть . В этом случае из (4.5.7) получаем (4.5.9) Второе слагаемое в (4.5.9) равно нулю в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега. Замечая, что функция имеет ограниченное изменение в промежутке , с помощью второй основной леммы Дирихле – и утверждения: для того, чтобы функция имела в промежутке ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в этом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих и ограниченных функций: , (в силу второй основной леммы – леммы Дирихле – и утверждения). находим Следовательно, (4.5.10) Пусть . В этом случае формулу (4.5.7) представим в виде . (4.5.11) Пусть . Формулу (4.5.11) можно записать в виде (4.5.12) Здесь . Функция имеет ограниченное изменение в промежутке с центром в точке . Замечая, что второе выражение (в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега) в (4.5.12) равно нулю, и учитывая, что (в силу первой основной леммы – леммы Римана-Лебега) равенство (4.5.12) можно записать в виде (4.5.13)
Если функция в исследуемой точке непрерывна, то (4.5.14) Полученные результаты (4.5.8), (4.5.10), (4.5.13) и (4.5.14) доказывают справедливость равенства (4.5.5). Теорема 3 доказана. Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям. 10. Функция кусочно непрерывна и имеет ограниченное изменение в любой конечной части промежутка ; 20. Функция абсолютно интегрируема в промежутке ; 30. Функция , если . Тогда 1. если , то функция , определяемая формулой (4.5.4), является аналитической функцией в нижней полуплоскости - плоскости, причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно . 2. если , то функция является непрерывной функцией по и стремится к нулю при . 3. справедливо равенство
где интегрирование производится по любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3. Теорема 5. Положим
Пусть функции и удовлетворяют условиям 10, 30 теоремы 3 и теоремы 4 соответственно. Кроме того, условие 20 в теореме 3 заменим на условие при а в теореме 4 – на условие при . Тогда 1. Функция , определяемая формулой
является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно . 2. Справедливо равенство
где интеграл берется вдоль любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости. 3. Функция , определяемая формулой
является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно . 4. Справедливо равенство
где интеграл берется вдоль любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости. 5. Если то функция
где
является аналитической функцией комплексной переменной в полосе 6. В любой точке непрерывности функции справедливо равенство , а в любой точке разрыва первого рода функции - равенство
где интегрирование в последних двух формулах производится по любой прямой, параллельной действительной оси - плоскости, лежащей в полосе , и понимается в смысле главного значения. В частности, при и функция является аналитической в полосе , содержащей действительную ось - плоскости. Только что сформулированная теорема имеет большое практическое значение при решении различных краевых задач уравнений математической физики. В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение Винера-Хопфа (4.5.15) ядро которого, функция зависит от разности и определено для всех значений своего аргумента . Покажем, что решение этого интегрального уравнения с помощью теоремы 5 сводится к решению функционального уравнения Винера-Хопфа. Введём функции
(4.5.16)
Уравнение (4.5.15), согласно (4.5.16), можно записать в виде (4.5.17) (4.5.18) Функция определяется из решения интегрального уравнения (4.5.17), а выражается через функции , и с помощью квадратурной формулы (4.5.18). При этом имеет место соотношение , (4.5.19) эквивалентное исходному уравнению (4.5.15). Пусть функция удовлетворяет условиям при (4.5.20) при где и . Тогда функция в силу теоремы 5 будет аналитической в полосе , . Кроме того, пусть при (4.5.21) при где , . Тогда функция в силу этой же теоремы будет аналитической в полосе , . Для определенности положим, что . Будем искать решение уравнения (4.5.15), удовлетворяющее условию при (4.5.22) где , не останавливаясь на доказательстве существования решения уравнения (4.5.17), обладающего указанным свойством. При этом интегралы в формулах (4.5.17) и (4.5.18) являются сходящимися, причем для функции имеет место оценка при (4.5.23) что легко получается из (4.5.18). Из (4.5.22) и (4.5.23) следует, что преобразования Фурье функции и в силу теорем 3, 4 являются аналитическими функциями комплексной переменной при и соответственно, а функция аналитична в полосе , . Для определенности положим, что . Умножив (4.5.15) на и проинтегрировав по от до , получаем (4.5.24) Изменив в последнем слагаемом порядок интегрирования, представим этот интеграл в виде . Сделаем замену переменной интегрирования, положив . Тогда (4.5.25) где .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.028 сек.) |