Теорема 2 (интегральная теорема Коши для системы контуров)

Пусть полная граница многосвязной области состоит из нескольких замкнутых жордановых спрямляемых кривых: внешней и внутренних , причем таких, что для любого кривые при лежат во внешности . Предположим, что обход полной границы области происходит в положительном направлении, то есть внешняя кривая обходится в положительном, а внутренние - в отрицательном направлении. Далее, пусть функция аналитична в такой области и непрерывна в замкнутой области . Тогда имеет место равенство

,

то есть

. (4.4.4)

Доказательство. Проведем гладкие, попарно непересекающиеся, целиком лежащие в , кривые ,соединяющие кривую с кривыми и т. д. Тогда область, ограниченная кривыми и кривыми , проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной. В силу теоремы 1 интеграл по границе этой области равен нулю. Но интегралы по вспомогательным кривым проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому приходим к равенству (4.4.4). Теорема доказана.

Интегральная формула Коши

Пусть − замкнутый жорданов спрямляемый контур. Обозначим через конечную часть плоскости, ограниченную , а через − бесконечную часть плоскости, состоящую из точек, расположенных вне . Контур не будем причислять ни к , ни к . Область, состоящую из и из точек линии , как обычно, будем обозначать через , а область, состоящую из и из точек линии , − через . В качестве положительного направления на выберем то, которое оставляет область слева.

Для дальнейших целей докажем следующую теорему:

Теорема 1. Пусть − непрерывная функция на спрямляемой жордановой замкнутой или разомкнутой кривой . Функция , представленная интегралом типа Коши

(4.5.1)

является аналитической функцией на комплексной плоскости всюду вне кривой . Эта функция в точках , не лежащих на , имеет производные всех порядков, и для них справедливы формулы

(4.5.2)

Доказательство. Ввиду того, что при как функция в каждой точке, не лежащей на , имеет производные любого порядка

, (4.5.3)

а выражение как функция , для всех вне , непрерывна (и, следовательно, интеграл существует и является однозначной функцией для любого ), становится очевидным существование простых различных способов доказательства этой теоремы. Воспользуемся одним из них. Так как функция при как функция аналитична в каждой точке, не лежащей на , то есть и операцию можно внести под знак интеграла в правой части (4.5.1), заключаем, что . Следовательно, функция аналитична на комплексной плоскости всюду вне кривой . Далее, в силу законности операции

,

для всех вне кривой , с учетом (1.5.3) приходим еще к одному выводу: представленная интегралом типа Коши (4.5.1) функция в точках , не лежащих на , имеет производные всех порядков, и для них справедливы формулы (4.5.2). Теорема доказана.

Приведем теперь следующие, хорошо известные формулы (в дальнейшем предполагается, что - замкнутая спрямляемая кривая Жордана).

I. Пусть - функция, аналитическая в и непрерывная в . Тогда

Формула (4.5.4) называется интегральной формулой Коши, а стоящий слева интеграл - интегралом Коши. Формула (4.5.5) – непосредственное следствие теоремы Коши (см. теорема 1 в параграфе 4.4), ибо в этом случае подынтегральная функция , рассматриваемая как функция от , аналитична в и непрерывна в .

Для доказательства формулы (4.5.4) опишем из точки , как из центра, окружность настолько малого радиуса , чтобы она принадлежала в . Учитывая аналитичность по функции в области , получающейся из путем исключения точки вместе с замкнутым кругом , и непрерывность ее вплоть до границы, в силу теоремы Коши для системы контуров (теорема 2 в параграфе 4.4) получаем

(4.5.6)

где интегралы берутся в одном и том же направлении − в направлении против часовой стрелки. Из (4.5.6) следует:

а) доказательство формулы (4.5.4) сводится к доказательству

б) величина интеграла

не изменяется при уменьшении радиуса окружности , то есть

.

Стало быть, вместо доказательства формулы (4.5.4) достаточно установить справедливость равенства

(4.5.7)

Справедлива запись

,

откуда на основании

и очевидного равенства

приходим к формуле (4.5.7), и тем самым – к формуле (4.5.4)

Очевидно, что формула

,

остается в силе и тогда, когда представляет собой - связную ограниченную область, контур которой состоит из замкнутых попарно непересекающихся жордановых спрямляемых кривых . В частности, когда конечная область с границей содержит внутри себя , то можно написать

, (4.5.8)

Следствие 1. Пусть в частном случае − окружность с центром .

Если − радиус окружности, то уравнение окружности можно представить в виде .

Следовательно,

.

Под арифметическим средним функции на окружности понимают

,

где .

Иначе говоря, значение аналитической функции в любой точке области аналитичности равно арифметическому среднему ее значений на любой окружности с центром , принадлежащей той же области.

Следствие 2. Пусть аналитична и отлична от нуля в круге . Можно показать, что геометрическое среднее модуля на окружности есть

.

[Функция аналитична в круге .]

Следствие 3. Если функция аналитична в области и непрерывна в , то она имеет в области производные всех порядков, и для них справедливы формулы

(4.5.8)

Здесь - произвольная точка области .

Действительно, в силу интегральной формулы Коши имеет место представление

,

и данное утверждение сразу следует из теоремы 1.

Из формулы (4.5.8) вытекают важные неравенства Коши. Обозначим через максимум модуля функции в области , через - расстояние от точки до границы и через - длину жордановой спрямляемой кривой .

Имеем из (4.5.8):

Если, в частности, - окружность с центром и радиусом , то

(4.5.9)

Это и есть неравенства Коши.

Следствие 4. Производная аналитической функции сама является аналитической функцией.

Действительно, обладает производной всюду в области .

Итак, если функция является аналитической функцией в области , то в этой области функция обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных.

Следствие 5. Действительная и мнимая части аналитической функции обладают дифференцируемыми частными производными всех порядков.

Пусть . Так как функция сама аналитична в области , то и имеют частные производные первого порядка , причем в силу условия Коши-Римана

Тем самым доказаны существование производных второго порядка у функций и и гармоничность этих функций в области . Повторением этого рассуждения убеждаемся в том, что функции и имеют производные всех порядков в области аналитичности функции .

Действительная и мнимая части аналитической в области функции называются сопряженными гармоническими функциями.

Пусть - какая-либо функция, гармоническая (однозначная) в данной односвязной области . Требуется найти функцию , аналитическую в этой области, действительная часть которой совпадает с : . Для отыскания мнимой части функции имеем два уравнения Коши- Римана:

Функции и непрерывны в области и обладают в ней непрерывными частными производными первого порядка. При этом выполняется условие

,

в силу которого криволинейный интеграл

не зависит от вида пути, соединяющего точки и области и, следовательно, представляет однозначную функцию точки , т. е.

.

Эта функция имеет те же частные производные, что и искомая функция :

поэтому может отличаться от только на постоянное слагаемое:

.

Здесь - действительное число.

Вычисляя по этой формуле, будем иметь две дифференцируемые в области функции

,

связанные уравнениями Коши-Римана

, .

Отсюда следует, что функция

, (4.5.10)

где , является аналитической функцией в односвязной области .

Итак, искомая аналитическая функция в односвязной области построена по формуле (4.5.10).

Аналогичное рассуждение показало бы, что функцию можно было бы построить и по заданной ее мнимой части .

Опираясь на следствие, докажем сейчас так называемую теорему Морера, до некоторой степени обратную к теореме Коши.

Теорема 2. Пусть функция является непрерывной в односвязной области и интеграл от по замкнутому спрямляемому контуру, целиком принадлежащему , равен нулю. Тогда является аналитической функцией в области .

Доказательство. Возьмем какую-либо фиксированную точку и рассмотрим интеграл

.

Из условий теоремы следует, что он не зависит от пути интегрирования и поэтому является однозначной функцией от . В параграфе 4.4 показано, что функция имеет в области производную, равную . Следовательно, функция является аналитической функцией в области . По следствию 4 функция , равная производной функции , тоже аналитична в области .

Эта теорема показывает, что при определении понятия аналитической функции можно исходить не из требования дифференцируемости, а из существования неопределенного интеграла.

Теорема 3 (теорема Лиувилля). Пусть на всей комплексной плоскости функция является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда это функция тождественно равна постоянной.

Доказательство. По условию теоремы существует такая константа , что независимо от . Поэтому согласно неравенству Коши (4.5.9)

.

Так как радиус можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от , то . В силу произвольности выбора точки заключаем, что на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что .

Поиск по сайту: