Теорема Жордана

Каждая замкнутая жорданова кривая делит плоскость на две различные области, для которых она является общей границей.

2. Понятие комплексного интегрирования. Пусть - спрямляемая кривая и - функция, определенная и непрерывная на .

Так как криволинейные интегралы

,

существуют, то существует и выражение вида

. (4.3.1)

Этот интеграл называют комплексным интегралом.

Из (4.3.1) следует, что на интегралы от функций комплексного переменного распространяются обычные свойства криволинейных интегралов второго типа:

1) (4.3.2)

Здесь через обозначается кривая, отличающаяся от только направлением обхода.

2) (4.3.3)

Здесь - дуги, получающиеся при каком-либо разбиении кривой на части, причем начало дуги совпадает с началом кривой , начало дуги - с концом дуги и конец дуги - с концом кривой .

3) (4.3.4)

Здесь - функции, определенные и непрерывные на , а - комплексные постоянные.

4) Если - кусочно-гладкая кривая, то

(4.3.5)

5) , (4.3.6)

где - длина кривой . Чтобы получить это неравенство, достаточно заметить, что

и перейти к пределу.

Все перечисленные свойства являются точными аналогами соответствующих свойств интегралов от действительных функций.

Однако необходимо отметить, что одно из свойств определенных интегралов от действительных непрерывных функций (так называется первая теорема о среднем значении) не имеет места для определенных интегралов от комплексных непрерывных функций даже в том случае, если ограничиться интегрированием вдоль отрезка действительной оси.

3. Формула Римана-Грина. Как известно, формула Грина

(4.3.7)

где - внутренность замкнутой жордановой кривой , выводится обычно при следующих предположениях:

а) любая прямая, параллельная координатной оси, пересекает не более, чем в двух точках (исключения допускаются только для двух крайних положений в направлении каждой оси, где возможно пересечение по прямолинейному отрезку);

б) функции непрерывны в замкнутой области .

В формуле (4.3.7) криволинейный интеграл берется в положительном направлении, то есть в направлении против часовой стрелки.

Имеет место

Утверждение. Пусть - внутренность замкнутой жордановой кусочно-гладкой кривой и пусть действительная и мнимая части и функции непрерывны и обладают в замкнутой области непрерывными частными производными первого порядка. Тогда

(4.3.8)

Действительно, в силу формулы (4.2.2),(4.3.1) и (4.3.7) имеем

(4.3.9)

Формулу (4.3.8) называют формулой Римана-Грина.

Поиск по сайту: