 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Друга теорема розвинення
Теорема: Якщо зображення 
– правильний раціональний нескоротний дріб, знаменник 
, якого має лише прості корені 
, тобто 
, то
, (6.11.1)
де
.
Доведення
Як відомо, у випадку простих коренів знаменника правильний раціональний дріб розкладається на найпростіші дроби в такий спосіб:
Множення обох частин цієї рівності на двочлен 
дає:
відкіля, переходячи до границі при 
, визначається
причому 
, бо 
– простий корінь. Далі за теоремою зсуву 
, а на підставі властивості лінійності зображення
.
Приклад 1. Знайти оригінал 
функції 
.
Розв¢язання
За другою теоремою розвинення, маємо:
.
Відповідь:
.
Цей же приклад можна розв¢язати і наступним шляхом:
.
Таблиця основних відповідностей
«оригінал» – «зображення»
| № п/п | Оригінал | Зображення |
| 
| |
| ||
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| № п/п | Оригінал | Зображення |
|
| |
| 
| |
| 
|
8 Розв¢язання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом
Нехай необхідно розв¢язати задачу Коші
(8.1)
для диференціального рівняння 
-го порядку
(8.2)
де 
– дійсні числа 
– задані числа (початкові умови).
Задачу (8.1), (8.2) можна розв¢язати, отримавши спочатку загальне розв¢язання рівняння (8.2), яке є сумою загального розв¢язку відповідного однорідного (без правої частини) рівняння і будь-якого окремого розв¢язку рівняння (8.2). Загальний розв¢язок рівняння (8.2) має довільних сталих, які визначаються таким чином, щоб задовольнялися початкові умови (8.1).
Але, значно простіше і раціональніше задача Коші (8.1), (8.2) розв¢язується операторним методом.
При розв¢язанні задачі (8.1), (8.2) операційним методом передбачається, що шукана функція 
, усі її розглянуті похідні, а також функція (права частина рівняння (8.2)) є функціями-оригіналами.
Нехай 
і 
.
За формулою диференціювання оригіналу
і початковими умовами (8.1) маємо:
…………………………………………...... (8.3)
Далі, користаючись властивістю лінійності і ураховуючи відповідності (8.3), переходять від диференціального рівняння (8.2) до відповідного йому алгебраїчному рівнянню щодо зображення 
шуканої функції 
, які є розв¢язком задачі (8.1), (8.2):
або
або коротко
(8.4)
де 
і 
– алгебраїчні багаточлени степенів і 
відповідно щодо параметра р.
Рівняння (8.4) називається рівнянням у зображеннях, що відповідає диференціальному рівнянню (8.2).
Розв¢язок рівняння (8.4)
(8.5)
називається операторним розв¢язком диференціального рівняння (8.2).
Оригінал y(t), для якого функція Y(p) (8.3) є зображенням, і буде шуканим (причому єдиним у силу теореми єдиності) розв¢язком задачі (8.1), (8.2):
(8.6)
Приклад 1. Розв¢язати задачу Коші
(8.1)
для рівняння
. (8.2)
Розв¢язання
Нехай шукана функція і її похідні 
є оригіналами і нехай . Тоді
(8.3)
.
Підставивши замість 
і правої частини в задане диференціальне рівняння відповідні їм зображення, переходять до рівняння в зображеннях:
(8.4)
відкіля
Відповідь:
Перевірка.
Приклад 2. Розв¢язати задачу Коші
(8.1)
. (8.2)
Розв¢язання
Нехай . Тоді 
, а 
Отже, рівняння в зображеннях приймає вид:
або 
відкіля
Відповідь: 
Перевірка
| Примітка | Перевага операційного методу інтегрування диференціального рівняння перед класичним методом полягає в тому, що при розв¢язанні операційним методом отримуємо розв¢язання диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, по ходу його розв¢язання, минаючи одержання загального інтегралу заданого диференціального рівняння. Якщо ж потрібно знайти загальний інтеграл (загальний розв¢язок) диференціального рівняння (8.2), то і його можна одержати операційним методом. |
Приклад 3. Знайти загальний розв¢язок диференціального рівняння 
операційним методом.
Розв¢язання
Для одержання загального розв¢язку (інтегралу) беруться довільні початкові умови 
, 
. Тоді рівняння в зображеннях буде:
відкіля
Відповідь: 
де 
– довільна стала.
9 Розв¢язання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом
Алгоритм розв¢язання системи лінійних диференціальних рівнянь операційним методом, власне кажучи, не відрізняється від алгоритму розв¢язання цим методом одного рівняння.
Приклад 1. Розв¢язати систему диференціальних рівнянь:
(9.1)
при початкових умовах
(9.2)
Розв¢язання
Нехай шукані функції 
і їхні похідні 
, а також функції, що є правими частинами системи рівнянь (9.1), є оригіналами і нехай 
. Тоді
(9.3)
Підставляючи в систему (9.1) замість 
, і правих частин відповідні їм зображення, одержують систему алгебраїчних рівнянь:
чи
(9.4)
Рішення отриманої системи в зображеннях дає:
(9.5)
Переходячи від зображень (9.5) до відповідного їм оригіналам, одержують шукане рішення задачі (9.1), (9.2):
(9.6)
Приклад 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь
(9.1)
при початкових умовах:
. (9.2)
Рішення
Нехай , тоді
(9.3)
Підстановкою в систему (9.1) замість , і правих частин відповідних їм зображень за співвідношеннями (9.3), отримують систему алгебраїчних рівнянь у зображеннях:
(9.4)
Розв¢язання отриманої системи (9.4) дає:
(9.5)
Переходом від зображень (9.5) до відповідних їм оригіналам отримуємо розв¢язок задачі (9.1), (9.2):
(9.6)
Відповідь: 
Перевірка: 
Легко бачити, що задачу (9.1), (9.2) розв¢язано вірно.
Поиск по сайту: