Друга теорема розвинення

Теорема: Якщо зображення – правильний раціональний нескоротний дріб, знаменник , якого має лише прості корені , тобто , то

, (6.11.1)

де

.

Доведення

Як відомо, у випадку простих коренів знаменника правильний раціональний дріб розкладається на найпростіші дроби в такий спосіб:

Множення обох частин цієї рівності на двочлен дає:

відкіля, переходячи до границі при , визначається

причому , бо – простий корінь. Далі за теоремою зсуву , а на підставі властивості лінійності зображення

.

Приклад 1. Знайти оригінал функції .

Розв¢язання

За другою теоремою розвинення, маємо:

.

Відповідь:

.

Цей же приклад можна розв¢язати і наступним шляхом:

.

Таблиця основних відповідностей

«оригінал» – «зображення»

№ п/п	Оригінал	Зображення
№ п/п	Оригінал	Зображення

8 Розв¢язання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Нехай необхідно розв¢язати задачу Коші

(8.1)

для диференціального рівняння -го порядку

(8.2)

де – дійсні числа – задані числа (початкові умови).

Задачу (8.1), (8.2) можна розв¢язати, отримавши спочатку загальне розв¢язання рівняння (8.2), яке є сумою загального розв¢язку відповідного однорідного (без правої частини) рівняння і будь-якого окремого розв¢язку рівняння (8.2). Загальний розв¢язок рівняння (8.2) має довільних сталих, які визначаються таким чином, щоб задовольнялися початкові умови (8.1).

Але, значно простіше і раціональніше задача Коші (8.1), (8.2) розв¢язується операторним методом.

При розв¢язанні задачі (8.1), (8.2) операційним методом передбачається, що шукана функція , усі її розглянуті похідні, а також функція (права частина рівняння (8.2)) є функціями-оригіналами.

Нехай і .

За формулою диференціювання оригіналу

і початковими умовами (8.1) маємо:

…………………………………………...... (8.3)

Далі, користаючись властивістю лінійності і ураховуючи відповідності (8.3), переходять від диференціального рівняння (8.2) до відповідного йому алгебраїчному рівнянню щодо зображення шуканої функції , які є розв¢язком задачі (8.1), (8.2):

або

або коротко

(8.4)

де і – алгебраїчні багаточлени степенів і відповідно щодо параметра р.

Рівняння (8.4) називається рівнянням у зображеннях, що відповідає диференціальному рівнянню (8.2).

Розв¢язок рівняння (8.4)

(8.5)

називається операторним розв¢язком диференціального рівняння (8.2).

Оригінал y(t), для якого функція Y(p) (8.3) є зображенням, і буде шуканим (причому єдиним у силу теореми єдиності) розв¢язком задачі (8.1), (8.2):

(8.6)

Приклад 1. Розв¢язати задачу Коші

(8.1)

для рівняння

. (8.2)

Розв¢язання

Нехай шукана функція і її похідні є оригіналами і нехай . Тоді

(8.3)

.

Підставивши замість і правої частини в задане диференціальне рівняння відповідні їм зображення, переходять до рівняння в зображеннях:

(8.4)

відкіля

Відповідь:

Перевірка.

Приклад 2. Розв¢язати задачу Коші

(8.1)

. (8.2)

Розв¢язання

Нехай . Тоді , а

Отже, рівняння в зображеннях приймає вид:

або

відкіля

Відповідь:

Перевірка

Приклад 3. Знайти загальний розв¢язок диференціального рівняння операційним методом.

Розв¢язання

Для одержання загального розв¢язку (інтегралу) беруться довільні початкові умови , . Тоді рівняння в зображеннях буде:

відкіля

Відповідь:

де – довільна стала.

9 Розв¢язання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Алгоритм розв¢язання системи лінійних диференціальних рівнянь операційним методом, власне кажучи, не відрізняється від алгоритму розв¢язання цим методом одного рівняння.

Приклад 1. Розв¢язати систему диференціальних рівнянь:

(9.1)

при початкових умовах

(9.2)

Розв¢язання

Нехай шукані функції і їхні похідні , а також функції, що є правими частинами системи рівнянь (9.1), є оригіналами і нехай . Тоді

(9.3)

Підставляючи в систему (9.1) замість , і правих частин відповідні їм зображення, одержують систему алгебраїчних рівнянь:

чи

(9.4)

Рішення отриманої системи в зображеннях дає:

(9.5)

Переходячи від зображень (9.5) до відповідного їм оригіналам, одержують шукане рішення задачі (9.1), (9.2):

(9.6)

Приклад 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь

(9.1)

при початкових умовах:

. (9.2)

Рішення

Нехай , тоді

(9.3)

Підстановкою в систему (9.1) замість , і правих частин відповідних їм зображень за співвідношеннями (9.3), отримують систему алгебраїчних рівнянь у зображеннях:

(9.4)

Розв¢язання отриманої системи (9.4) дає:

(9.5)

Переходом від зображень (9.5) до відповідних їм оригіналам отримуємо розв¢язок задачі (9.1), (9.2):

(9.6)

Відповідь:

Перевірка:

Легко бачити, що задачу (9.1), (9.2) розв¢язано вірно.

Поиск по сайту: