АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення

Читайте также:
  1. Вимірювання кута фазового зсуву з перетворенням його на код
  2. Вимірювання кута фазового зсуву з перетворенням його на струм чи напругу
  3. Вимірювання кута фазового зсуву методом зрівноважуючого перетворення
  4. Властивість лінійності зображення
  5. Геометричне зображення комплексного числа. Модуль та аргумент комплексного числа
  6. Головні властивості і геометрична сутність картографічного зображення.
  7. Графічне зображення варіаційних рядів
  8. Графічні зображення символів та їх функції
  9. Графічні зображення схем
  10. Диференціювання зображення
  11. Диференціювання оригіналів (зображення похідних оригіналів)
  12. Зображення на картах об’єктів місцевості.

Операційне числення засноване на так званому перетворенні Лапласа (операторові спеціального виду)

, (3.1)

яке є невласним інтегралом першого роду.

Тут , взагалі кажучи, комплексна функція-оригінал дійсного аргументу , що найчастіше інтерпретується як час, а тому . Функція комплексного аргументу , обумовлена інтегралом Лапласа (3.1), називається зображенням за Лапласом функції-оригіналу .

Той факт, що функція є зображенням функції-оригіналу символічно записується так:

або .

Функцією-оригіналом називається функція , яка задовольнює наступні умови:

а) інтегрована на будь-якому кінцевому інтервалі осі ;

б) для всіх від¢ємних : ;

в) зростає не швидше показникової (експоненціальної) функції, тобто існують такі дійсні сталі і , що

Умова а) означає, що функція – оригінал на будь-якому кінцевому відрізку додатної півосі задовольняє умови Діріхле, тобто, по-перше, обмежена, по-друге, або безперервна, або має лише кінцеве число точок розриву першого роду, і, по-третє, має кінцеве число екстремумів. При цьому за значення оригіналу у всякій його точці розриву першого роду приймається напівсума його граничних значень ліворуч і праворуч від цієї точки:

Так, зокрема, у силу умови б) за значення оригіналу в точці береться права границя:

.

Умова б) виправдана тим, що для фізики і техніки зовсім байдуже як поводяться об'єкти, що розглядаються до деякого початкового моменту часу, прийнятого за момент

Умова в) накладає обмеження на характер росту оригіналу , тобто, вимагає щоб при зростала за абсолютною величиною не швидше показової експоненціальної функції, тому число називається показником росту оригіналу .

Більшість функцій, що зустрічається на практиці, задовольняє умові в). Як приклад функцій, для яких умова в) не виконується, можна навести функцію .

Далі показується, що обмеження в) накладається на оригінал для забезпечення збіжності інтегралу Лапласа (3.1).

Справді, якщо оригінал задовольнює умову в) і , то інтеграли у правій частині рівності

збігаються абсолютно.

Спочатку оцінюється перший з цих інтегралів.

Аналогічно оцінюється і другий інтеграл.

Таким чином, для будь-якої функції-оригіналу зображення визначене в напівплощині і є в цій напівплощині аналітичною функцією.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)