Диференціювання функції комплексної змінної

Дамо визначення похідної функції комплексної змінної. Нехай є функція f(z). Якщо для точки існує при межа (граничне значення) різницевого відношення то ця межа називається похідною функції f(z) пo комплексній змінній z у точці й позначається , тобто

(1.9)

Функція f(z) у цьому випадку називається диференцюємою у точці . Підкреслимо ще раз, що якщо існує межа (1.9), то вона не залежить від способу прагнення до нуля, тобто від способу наближення точки до точки .

Вимога диференцюємості функції комплексної змінної в точці накладає досить важливі умови на поводження дійсної й мнимої частин цієї функції в околиці точки . Ці умови відомі за назвою умов Коші-Римана, які можуть бути сформульовані у вигляді наступних теорем.

Теорема. Якщо функція f(z) = u(х, у) + iv(x, у) є диференцюємою в точці , то в точці існують частки похідні функцій u(х,у) і v(x,y) пo змінних х, у, причому мають місце наступні співвідношення:

(1.10)

Теорема (зворотна). Якщо в точці функції u(х,у) і v(x,y) диференцюєми, а їхні частки похідні зв'язані співвідношеннями (1.10), то функція f(z) = u(x,y) +iv(x,y) є диференцюємою функцією комплексної змінної z в точці .

Якщо функція f(z) диференцюєма у всіх точках деякої області G, а її похідна безперервна в цій області, то функція f(z) називається аналітичною функцією в області G.

Необхідною й достатньою умовою аналітичності функції f(z) = u(x,y) +iv(x,y) в області G є існування в цій області безперервних часток похідних функцій u(х,у) і v(x,у), зв'язаних співвідношеннями Коши-Римана.

Відзначимо також, що співвідношення Римана-Коши дозволяють одержати різні вираження для похідної функції комплексної змінної

(1.11)

При цьому щораз похідна f(z) виражається через частки похідні функцій u(х,у) і v(x,y).

Поиск по сайту: