Теорема множення зображень (теорема про згортку)
Теорема: Якщо оригінал , а оригінал , то
(6.7.1)
Доведення
Позначивши , за визначенням зображення за Лапласом
(6.7.2)
Інтеграл, що стоїть праворуч, є подвійний інтеграл, який береться по області , обмеженій прямими і при цьому:
Зміна порядку інтегрування в інтегралі праворуч у рівності (6.7.2) дає:
.
Отже
Інтеграл називається згорткою функцій і і позначається .
Отже оригінал, що відповідає добутку двох зображень, дорівнює згортці оригіналів співмножників.
Приклад 1. Застосовуючи теорему множення зображень, знайти оригінал, якщо,
Розв¢язання
Маємо
причому
Тому, враховуючи, що
знаходимо:
тобто
Відповідь:
.
Приклад 2. (самостійно). Застосовуючи теорему про згортку, знайти оригінал, якщо
Відповідь:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | Поиск по сайту:
|