Метод интеграла наложения (интеграла Дюамеля)

Как уже говорилось, одним из методов анализа воздействия сигналов на линейные цепи является метод динамического представления линейных цепей с помощью интеграла наложения (интеграла Дюамеля). Широкое применение нашло два вида динамического представления линейных цепей.

Согласно первому из них для анализа отклика цепи в качестве элементарных сигналов служат прямоугольные импульсы, длительностью . Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (см. рис. 7. «Представление сигнала элементарными прямоугольными импульсами»).

При втором способе в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения через равные промежутки времени . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени (рис.8). Именно такой оказывается динамическая связь между мгновенными значениями входного и выходного сигналов в электрической цепи с сосредоточенными параметрами.

Поскольку существует простая связь между дельта-функцией и функцией включения по формулам (19) и (20), все выводы для линейной цепи, сделанные при помощи дельта-функции, легко переносятся на функцию включения.

Покажем возможность простого представления входных и выходных сигналов при помощи функции включения и переходной характеристики линейной электрической цепи .

Рис.8. Представление сигнала суммой скачков напряжений

Разбив входной сигнал (рис. 8) на элементарные функции включения (здесь – амплитуда элементарного скачка входного напряжения) и поступая так же, как и при выводе соотношения (25)

, ………… (25)

получаем ещё одну форму интеграла Дюамеля, позволяющую определить сигнал на выходе линейной цепи:

……… (31)

В теории линейных цепей установлена определённая связь между импульсной и переходной характеристиками. Поскольку переходная характеристика цепи есть отклик на единичную функцию , которая, в свою очередь, представляет собой интеграл от дельта-функции [см. (20)], то и между функциями и существует интегральное соотношение

. ………… (32)

Следует непременно отметить, что АЧХ и ФЧХ , а также импульсная и переходная характеристики позволяют оценивать влияние линейной цепи на изменение формы и параметров входного сигнала.

Экспериментально импульсную характеристику линейной цепи можно построить, подавая на её вход короткий импульс единичной площади и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

Импульсная и переходная характеристики позволяют в ряде случаев сравнительно просто найти сигнал на выходе линейной цепи при воздействии на её вход сложных по структуре колебаний.

Выражения, встречающиеся в разделе «Линейные цепи»:

– функция включения (функция Дирака);

– дельта-функция (единичная функция);