Операторный метод

Наряду со спектральным методом в теоретической радиотехнике и технике радиосвязи широко применяется очень близкий к нему по логической структуре операторный метод, который базируется на представлении преобразованиями Лапласа входных и выходных сигналов линейного четырёхполюсника. По существу спектральный метод является разновидностью операторного метода, в котором операторным изображением сигналов по Фурье служат их спектры. Однако в отличие от реальных спектров операторные изображения сигналов в общем случае являются абстрактными математическими моделями и понятиями, которые только упрощают анализ процессов в радиотехнических цепях.

(Рассматривать здесь операторный метод анализа линейных цепей мы не будем).

Термин «операторный метод» связан с известными работами О. Хэвисайда. Он предложил символический способ решения линейных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных цепях. Метод Хэвисайда основан на замене оператора дифференцирования комплексным параметром , который переводит анализ сигналов из временнóй области в область комплексных величин.

Кратко напомним элементы основных положений преобразований Лапласа

Рассмотрим некоторый комплексный или вещественный аналоговый сигнал , определенный при и равный нулю в момент времени .

Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р,

выраженная интегралом

. ……………… (9 )

Аналитическую запись сигнала называют оригиналом, а функцию его изображением по Лапласу (проще, изображением). Интеграл (9 ) внешне напоминает прямое преобразование Фурье. Однако между ними имеется принципиальное различие. В интеграл прямого преобразования Фурье входит мнимая частота , а в интеграл Лапласа (9 ) – комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту

(где – вещественная составляющая), при этом рассматривают только положительные значения времени . За счет множителя под интегралом в (9 ) для преобразование Лапласа возможно и для неинтегрируемых функций . Понятие комплексной частоты уже встречалось при анализе спектральных функций сигналов. Однако использование этого понятия

непосредственно в интегральном преобразовании делает его более эффективным по сравнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле прямого преобразования Фурье невозможно непосредственно определить спектр («изображение») функции включения . Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (9 ) легко отыскать его операторное изображение

│₀^∞ │^∞₀

или, поскольку , получим

……

Метод интеграла наложения (интеграла Дюамеля) будет рассмотрен позже.

Поиск по сайту: