Различные формы уравнения регрессии

Основная модель линейной регрессии относится к классу простых регрессий, в левой части уравнения которых находится одна переменная: объясняемая, моде- лируемая, эндогенная, а в правой — несколько переменных: объясняющих, фак- торных, независимых, экзогенных. Объясняющие переменные называют также факторами, регрессорами.

Для объясняемой переменной сохраняется прежнее обозначение — x. А век- тор-строка размерности n объясняющих переменных будет теперь обозначаться через z, поскольку свойства этих переменных в основной модели регрессии суще- ственно отличаются от свойств объясняемой переменной. Через X и Z обозна- чаются, соответственно, вектор-столбец размерности N наблюдений за объясня- емой переменной и матрица размерности N × n наблюдений за объясняющими переменными. Обозначения параметров регрессии и остатков по наблюдениям со- храняются прежними (отличие в том, что теперь вектор-столбцы α и a имеют размерность n).

Уравнения регрессии в исходной форме имеют следующий вид:

X = Z α + 1 N β + ε, (7.1)

В сокращенной форме:

X ˆ = Z ˆα + ε, (7.3)

или

X ˆ = Z ˆ a + e. (7.4)

Оператор МНК-оценивания ((6.11, 6.13) в п. 6.2) принимает теперь вид:

a = M −1 m, b = x ¯ − z ¯ a, (7.5)

N ˆ ˆ

где M = 1

Z t Z — ковариационная матрица переменных z между собой,

N ˆ ˆ

m = 1

Z t X — вектор ковариаций переменных z с переменной x. Первую часть

оператора (7.5) часто записывают в форме:

a =  ˆ Z ˆ−1 Z ˆ X. (7.6)

Z t t ˆ

МНК-оценки e обладают следующими свойствами ((6.6, 6.12) в предыдущей главе):

e ¯ =

N

1 Z ˆt e = 0. (7.7)

N

Коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом (см. (6.20)):

s 2

e, (7.8)

x x

— дисперсия объясняемой переменной, s 2 — остаточная дисперсия,

q = a t Ma = a t m = m t a = m t M −1 m (7.9)

— объясненная дисперсия.

Уравнение регрессии часто записывают в форме со скрытым свободным членом:

X = Z ˜α˜ + ε, (7.10)

X = Z ˜ a ˜ + e, (7.11)

224 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

   

α a

где Z ˜ = [ Z 1 N ], α˜ = 

, a ˜ =  .

   

β b

При таком представлении уравнения регрессии оператор МНК-оценивания записывается следующим, более компактным, чем (7.5), образом:

a = M ˜−1 m, (7.12)

a ˜ =

 Z ˜t Z ˜

−1

Z ˜t X. (7.13)

M ˜ и m ˜

также, как M и m, являются матрицей и вектором вторых моментов,

но не центральных, а начальных. Кроме того, их размерность на единицу больше. Оператор (7.12) дает, естественно, такой же результат, что и оператор (7.5).

Этот факт доказывался в п. 4.2 для случая одной переменной в правой части урав-

нения.

В общем случае этот факт доказывается следующим образом. Учитывая, что

X = X ˆ + 1 Nx ¯, (7.14)

.

Z ˜ =

Z ˆ + 1 Nz ¯

.

1 N, (7.15)

можно установить, что





M + z ¯r z ¯

z ¯



m + z ¯r x ¯

z ¯r





m =  

˜  ,

x ¯

и записать систему нормальных уравнений, решением которой является (7.12) в сле- дующей форме:



M + z ¯r z ¯

z ¯r

  

a

 

m + z ¯r x ¯

  

 =  



z ¯ 1

    .

b x ¯

7.1. Различные формы уравнения регрессии 225

Вторая (нижняя) часть этой матричной системы уравнений эквивалентна второй части оператора (7.5). После подстановки b, выраженного через a, в первую (верх- нюю) часть данной матричной системы уравнений она приобретает следующий вид:

Ma + z ¯r z ¯ a + z ¯r x ¯ − z ¯r z ¯ a = m + z ¯r x ¯,

и после приведения подобных становится очевидной ее эквивалентность первой ча- сти оператора (7.5).

Что и требовалось доказать.

Кроме того, можно доказать, что





M −1 − M −1 z ¯t

− z ¯ M −1 1 + z ¯ M −1 z ¯t



Этот факт потребуется ниже. (Правило обращения блочных матриц см. в Прило- жении A.1.2.)

Справедливость этого утверждения проверяется умножением M ˜−1 из (7.17) на M ˜из (7.16). В результате получается единичная матрица.

МНК-оценки вектора e ортогональны столбцам матрицы Z ˜:

Z ˜t e = 0. (7.18)

Доказательство наличия этого свойства получается как побочный результат при вы- воде оператора оценивания (7.12) путем приравнивания нулю производных оста- точной дисперсии по параметрам регрессии, как это делалось в п. 6.2.

что

Поскольку последним столбцом матрицы Z ˜

является 1 N, из (7.18) следует,

т.е. e ¯ = 0. Из остальной части (7.18):

Z t e = 0, (7.20)

что в данном случае означает, что cov (Z, e) = 0.

Действительно, раскрывая (7.20):

Z r e

(7. 15)

=

Z ˆr e + z ¯r1r

e = Z ˆr e = 0.

226 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

Таким образом, (7.18) эквивалентно (7.7).

Однако уравнения (7.10) допускают и иную интерпретацию. Если последним

в Z ˜

является не 1 N, а столбец «обычной» переменной, то это — регрессия без

свободного члена. В таком случае из (7.18) не следует (7.19), и свойства (7.7) не вы- полняются. Кроме того, для такой регрессии, очевидно, не возможна сокращенная запись уравнения. Этот случай в дальнейшем не рассматривается.

В дальнейшем будет применяться в основном форма записи уравнения со скры- тым свободным членом, но чтобы не загромождать изложение материала, символ

«∼» будет опускаться, т.е. соотношения (7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.18) будут исполь- зоваться в форме

Случаи, когда a, Z, m, M означают не a ˜, Z ˜, m ˜, M ˜, а собственно a, Z, m, M, будут оговариваться специально.

Поиск по сайту: