Упражнение 2

Дано уравнение регрессии: X = Z ˜α˜ + ε = −1. 410 z 1 + 0. 080 z 2 + 56. 962 120 + ε, где X — вектор-столбец 20 наблюдений за объясняемой переменной (20 × 1), ε — вектор-столбец случайных ошибок (20 × 1) с нулевым средним и ковариа-

ционной матрицей σ2 I 20= 21. 611 I 20и

Z ˜ — матрица размерности (20 × 3) на-

блюдений за объясняющими переменными. Используя нормальное распределение

7.5. Упражнения и задачи 249

с независимыми наблюдениями, со средним 0 и ковариационной матрицей σ2 I 20=

= 21. 611 I 20, получите 100 выборок вектора ε (N × 1), k = 1 ,..., 100, где N =

= 20. Эти случайные векторы потом используйте вместе с известным вектором

α˜ = (−1. 410, 0. 080, 56. 962) и матрицей

Z ˜ = (Z 1, Z 2, 1) из таблицы 7.1. Снача-

ла получите ожидаемое значения X 0 = Z ˜α˜, затем, чтобы получить 100 выборок

вектора X (20 × 1), добавьте случайные ошибки: X 0+ ε = X.

2.1. Используйте 10 из 100 выборок, чтобы получить выборочные оценки для α1,

α2, β, σ и R 2.

2.2. Вычислите матрицу ковариаций параметров уравнения регрессии Ma для каж- дого элемента выборки и сравните с истинным значением ковариационной матрицы:







0. 099813 −0. 004112 −0. 233234 





−0. 233234 −0. 057857 39. 278158

Дайте интерпретацию диагональных элементов ковариационных матриц.

2.3. Вычислите среднее и дисперсию для 10 выборок для каждого из параметров, полученных в упражнении 2.1, и сравните эти средние значения с истинными параметрами. Обратите внимание, подтвердилась ли ожидаемые теоретиче- ские результаты.

2.4. Используя уровень значимости θ = 0. 05, вычислите и сравните интерваль- ные оценки для α1, α2, β и σ для 10 выборок.

2.5. Объедините 10 выборок, по 20 наблюдений каждая, в 5 выборок по 40 на- блюдений и повторите упражнения 2.1 и 2.2. Сделайте выводы о результатах увеличения объема выборки.

2.6. Повторите упражнения 2.1 и 2.5 для всех 100 и для 50 выборок и проана- лизируйте разницу в результатах.

2.7. Постройте распределения частот для оценок, полученных в упражнении 2.6, сравните и прокомментируйте результаты.

250 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

Задачи

1. В регрессии X = Za + 1 Nb + e матрица вторых начальных моментов ре-



грессоров равна 





9 2

. Найдите дисперсию объясняющей переменной.



2 1

2. На основании ежегодных данных за 10 лет с помощью МНК была сделана оценка параметров производственной функции типа Кобба—Дугласа. Чему равна несмещенная оценка дисперсии ошибки, если сумма квадратов остат- ков равна 32?

3. В регрессии X = Za + 1 Nb + e с факторами Z t= (1, 2, 3) сумма квадра- тов остатков равна 6. Найдите ковариационную матрицу оценок параметров регрессии.

4. Какие свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии теряются, если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

5. Что обеспечивает гипотеза о нормальности распределения ошибок при по- строения уравнения регрессии? Ответ обоснуйте.

6. Какие ограничения на параметры уравнения проверяются с помощью t -кри- терия (написать ограничения с расшифровкой обозначений)?

7. Четырехфакторное уравнение регрессии оценено по 20-ти наблюдениям. В каком случае отношение оценки коэффициента регрессии к ее стандарт- ной ошибке имеет распределение t -Стьюдента? Сколько степенией свободы в этом случае имеет эта статистика?

8. Оценки МНК в регрессии по 20-ти наблюдениям равны (2, −1), а ковариа-

 

9 2

ционная матрица этих оценок равна 



. Найти статистики t -Стьюдента



2 1

для этих коэффициентов.

9. По 10 наблюдениям дана оценка 4 одному из коэффициентов двухфакторной регрессии. Дисперсия его ошибки равна 4. Построить 99%-ный доверитель- ный интервал для этого коэффициента.

10. МНК-оценка параметра регрессии, полученная по 16 наблюдениям, рав- на 4, оценка его стандартной ошибки равна 1. Можно ли утверждать с веро- ятностью ошибки не более 5%, что истинное значение параметра равно 5. 93? Объяснить почему.

7.5. Упражнения и задачи 251

11. Оценка углового коэффициента регрессии равна 4, а дисперсия этой оценки равна 4. Значим ли этот коэффициент, если табличные значения:

tN − n −1, 0. 95 = 2. 4 ,tN − n −1, 0. 90 = 1. 9?

12. В результате оценивания регрессии x = z α + 1 N β + ε на основе N = 30

наблюдений получены следующие результаты:

Заполните пропуски в скобках.

13. На основе годовых отчетов за 1973–1992 годы о затратах на продукты пи- тания Q, располагаемом доходе Y, индексе цен на продукты питания PF и индексе цен на непродовольственные товары P N F, группа исследовате- лей получила различные регрессионные уравнения для функции спроса на продукты питания:

R 2

ln Q

R 2

ln Q

R 2

В скобках приведены значения t -статистики.

Прокомментируйте полученные оценки коэффициентов и t -статистики, объ- ясните, почему значения могут различаться в трех уравнениях. Можете ли вы предложить решение проблемы статистической незначимости коэффициен- тов в последнем уравнении?

252 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

14. Используя приведенные ниже данные, оцените параметры модели xt = β +

+ α1 z 1 t + α2 z 2 t + ε t и, делая все необходимые предположения, проверьте статистическую значимость коэффициента α1.

= 10,  z ˆ2

= 8,  z ˆ1 tz ˆ2 t = 8,  z ˆ1 tx ˆ t = −10,  z ˆ2 tx ˆ t = −8,

= 20,

t = 1 ,..., 5;

= 55,  z 2

= 28,  z 1 tz 2 t = 38,  z 1 txt = 35,  z 2 txt = 22,

15. Анализ годовых данных (21 наблюдение) о спросе на некоторый товар привел к следующим результатам:

Средние Стандартные

отклонения

Парные коэффициенты корреляции

z ¯ = 51. 843 sz = 9. 205 rxz = 0. 9158

x ¯ = 8. 313 sx = 1. 780 rxt = 0. 8696

t ¯ = 0 st = 6. 055 rzt = 0. 9304

z — потребление на душу населения, x — цена с учетом дефлятора, t — время (годы).

а) Найдите коэффициент при времени в оцененной регрессии x по z и t. б) Проверьте, будет ли этот коэффициент значимо отличен от нуля.

в) Кратко объясните экономический смысл включения в регрессию вре- мени в качестве объясняющей переменной.

16. Какие ограничения на параметры уравнения можно проверить с помощью

F -критерия? Написать ограничения с расшифровкой обозначений.

17. Пяти-факторное уравнение линейной регрессии для переменной x оценено по 31 наблюдению. При этом объясненная и смещенная остаточная дис- персии соответственно равны 8 и 2. Вычислить коэффициент детерминации и расчетное значение F -статистики.

18. В регрессии x = z 1α1+ z 2α2+β +ε по 5-ти наблюдениям смещенная оценка остаточной дисперсии равна 1, а дисперсия зависимой переменной равна 2. Значима ли эта зависимость?

19. По 10 наблюдениям оценено двухфакторное уравнение линейной регрессии, коэффициент детерминации составляет 90%. При каком уровне доверия это уравнение статистически значимо? Записать уравнение для нахождения этого уровня значимости.

7.5. Упражнения и задачи 253

20. Используя следующие данные:

X = (5, 1, −2, 5, −4)t, Z = (1, 2, 3, 4, 5)t,

и делая все необходимые предположения

а) для X = Z α + 1 N β + ε оценить 95-процентные доверительные интер- валы для параметров регрессии;

б) проверить значимость коэффициентов регрессии и оценить качество регрессии с вероятностью ошибки 5%.

21. Пусть X = α1 Z 1 + α2 Z 2 + ε, X = (4, −2, 4, 0)t, Z 1 = (1, 1, 2, 2)t

и Z 2 = 2 Z 1. Постройте систему нормальных уравнений и покажите, что

существует бесконечное множество решений для a 1 и a 2. Выберите любые два решения, покажите, что они дают одинаковые расчетные значения X и, таким образом, одинаковые значения суммы квадратов ошибок.

22. Для уравнения регрессии X = Z α + 15β + ε имеются следующие данные:

   

 4 

1. 03 2. 08 0. 41

   

   

 8 

1. 46 2. 80 2. 03

   

X =    

 , Z = (Z 1 Z 2 Z 3) = 1. 14 2. 30 0. 98.

5. 5  

   

   

5. 8

1. 71 3. 05 0. 81

 

 

 

7. 0

 

 

1. 06 2. 17 1. 17

а) Являются ли факторы линейно зависимыми?

б) Найти матрицу коэффициентов корреляции факторных переменных, рассчитать определитель данной матрицы и сделать вывод о мульти- коллинеарности факторов.

в) Рассчитать определитель матрицы коэффициентов корреляции фактор- ных переменных в случае, если из уравнения выводится фактор Z 2.

г) Учесть дополнительную внешнюю информацию: α1= 1. 5α2(с помо- щью подстановки в уравнение регрессии) и найти определитель матрицы коэффициентов корреляции факторных переменных.

– при использовании исходного уравнения;

– при исключении из уравнения фактора Z 2;

254 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

– при использовании внешней информации из пункта (г).

23. Пусть цены сильно коррелируют с денежной массой и неплатежами. Ко- эффициент корреляции между денежной массой и неплатежами равен

0. 975. R 2 = 0. 95.. Имеет ли смысл строить регрессию цен на эти два (сильно

мультиколлинеарных) фактора?

24. Модель

x = α1 z 1 + α2 z 2+ β + ε (1)

преобразованной модели

x = α1 z 1 + α2 z 2+ α3 z 3 + β + ε (2)

неможетбытьбольше,чем R 2.При каких

б) Объясните последствия оценки модели (1), если верной является мо- дель (2).

25. В регрессии x = α1 z 1+ β + ε остатки равны (−2, 1, 0, 1). Оценивается регрессия x = α1 z 1 + α2 z 2+ β + ε. Привести пример переменной z 2, чтобы коэффициенты детерминации в обеих регрессиях совпадали.

26. В регрессию x = α1 z 1+ β + ε добавили переменную z 2. Переменная z 2оказалась совершенно незначимой. Как изменились обычный и скорректи- рованный коэффициенты детерминации?

27. Коэффициент детерминации в регрессии выпуска продукции по численности занятых в производстве, оцененной по 12 наблюдениям, равен 0. 8. После введения в регрессию дополнительного фактора — основного капитала — он вырос до 0. 819. Имело ли смысл вводить этот дополнительный фактор? Ответ обосновать без применения статистических критериев.

28. Дана модель регрессии xi = α1 zi + β + ε i.

а) Как оценивается точечный прогноз xN +1, если известно, что β = 0?

Покажите, что дисперсия ошибок прогноза будет равна σ2

. z 2.

1+ N +1.

N

i

i =1

7.5. Упражнения и задачи 255

б) Как оценивается точечный прогноз xN +1, если известно, что α = 0?

29. Почему ошибки прогнозирования по линейной регрессии увеличиваются с ростом горизонта прогноза?

30. Была оценена регрессия x = α1 z + β + ε по 50 наблюдениям. Делается прогноз x в точке z 51. При каком значении z 51доверительный интервал прогноза будет самым узким?

31. Вычислите предсказанное значение для x и соответствующую интервальную оценку прогноза при θ = 0. 05 в точке z 26= 14, если регрессионная модель x = 3 z + 220 + e построена по 25 наблюдениям, остаточная дисперсия равна 25 и средняя по z равна 14.

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2).

2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и ста- тистика», 1981. (Гл. 1, 2, 6).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 2, 5).

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах. Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986, (Гл. 1, 2).

5. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Стати- стика», 1977. (Гл. 10, 11, 14).

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 3, 4, 8).

7. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Ста- тистика», 1975. (Гл. 3, 6).

8. Себер Дж. Линейный регрессионый анализ. — М.: Мир, 1980.

9. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 5).

10. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econo- metrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 2).

256 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

11. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 6, 7).

12. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5, 21).

13. (*) William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge. Learning and Prac- ticing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 8).

Поиск по сайту: