Упражнение 4. Для уравнения X = Zoα+ε = −1.410z0 +0.080z0 +1N56.962+ε, z1= z0+εz,

Для уравнения X = Zo α+ε = −1. 410 z 0 +0. 080 z 0 +1 N 56. 962+ε, z 1= z 0+ε z,

1 2 1 1

+ ε z 2

и при предположении, что ε i ∼ N (0, 21. 611), ε z 1

∼ N (0, 21. 700)

и ε z 2

∼ N (0, 21. 800), были генерированы 20 значений выборки. Результаты при-

ведены в таблице 8.3.

Предполагая, что истинная матрица факторов Z 0неизвестна, выполните сле- дующие задания:

4.1. Найдите МНК-оценки a = (Z t Z)−1 Z t X параметров уравнения регрессии

X = Z α + ε = α1 z 1 + α2 z 2+ 1 N β + ε.

4.2. Рассчитайте ковариационную матрицу ошибок измерения факторов — W и ковариационный вектор — w и оцените параметры регрессии как a = (M − W)−1(m − w).

4.3. Найдите оценку через ортогональную регрессию.

4.4. Сравните эти все оценки друг с другом и с соответствующими истинными значениями.

Задачи

1. Какие свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии теряются, если ошибки по наблюдениям коррелированы и/или имеют разные дисперсии?

2. Как оцениваются параметры уравнения регрессии, если известна матрица ковариации ошибок и она не диагональна с равными элементами по диа- гонали?

8.6. Упражнения и задачи 283

Таблица 8.3

284 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

3. Рассматривается регрессионная модель X = Z α + ε. Пусть α∗= AX — это любая несмещенная оценка параметра α. Полагая, что E (εεt) = σ2Ω, покажите, что матрица ковариации α∗превышает матрицу ковариации αомнк = (Z tΩ−1 Z)−1 Z tΩ−1 X на какую-то положительно полуопределенную матрицу.

4. Докажите, что σ2

(x z α)tΩ−

1 (x − z α)

есть оценка σ2.

омнк

N − n − 1

5. Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полез- но сделать, если среднеквадратические отклонения ошибок регрессии про- порциональны какому-либо фактору?

6. Оценивается регрессия по 10 наблюдениям. Известно, что дисперсия оши- бок для первых 5 наблюдений в два раза больше, чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений. Опишите процедуру оценивания этой регрессии.

7. Рассмотрите регрессию xt = α1 t + β + ε t, t = 1 ,..., 5, где

– определите Ω;

– найдите Ω−1;

 

α1

– найдите матрицу ковариации МНК-оценки параметра α =  ;

 

β

 

α1

– найдите матрицу ковариации ОМНК-оценки параметра α =  .

 

β

8. Рассмотрите регрессию xt = α1 t + ε t, t = 1 ,..., 5,

– определите оценку МНК для α1и ее дисперсию;

– определите оценку ОМНК для α1и ее дисперсию;

– сравните эти оценки друг с другом и сделайте вывод.

9. Рассматривается модель X = Z α + ε, где ε i — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (ε i) = 0 и E. ε2.= σ2= eyi γ.

i i

8.6. Упражнения и задачи 285

     

2 1

4  2 1  



8

 5 1

3 1

    

     

     

В предположении, что X = 6, Z = 2 1, Y = 1 1,

     

     

     

2

 1 1

0 1

     

     

    

9 10 1 2 1

– найдите МНК-оценки a = (Z t Z)−1 ZX;

– найдите ОМНК-оценки a омнк =. Z tΩ−1 Z. −1 Z tΩ−1 X;

– постройте два 95%-х доверительных интервала для α1: один непра- вильный, основанный на результатах МНК, а другой правильный, осно- ванный на результатах ОМНК;

– проверьте гипотезу γ1 = 0.

10. Параметры трехфакторного уравнения регрессии оценены по 20 наблю- дениям. S 1 и S 2 — остаточные дисперсии по первой и второй половинам временного ряда. В каком случае гипотезы о гомоскедастичности следует отвергнуть?

11. Приведите примеры графиков зависимостей ошибки от времени в авторе- гресионной схеме первого порядка для случаев, когда модуль коэффициента авторегрессии превышает единицу. Что можно сказать об автокорреляции ошибок, если этот коэффициент равен нулю?

12. Ошибка в регрессии задана процессом ε i = 0. 6ε i −1+ η i, и η — нор- мально распределенная случайная величина с E (η i) = 0, E (η2) = σ2

i η

и i = 1 ,..., 5. Как выглядит матрица преобразования в пространстве пе-

ременных для ОМНК?

13. Проверьте, что D t D = Ω−1, где

 











...

−

...

r 1

...

···

...





. 



 

 

0 0 0 ··· 1

286 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели







··· r



N −1







 r 1 r ··· rN −2



r 1 ··· r













...

...

...

.. 





rN −1 rN −2 rN −3 ··· 1

14.

15. Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полез- но сделать, если ошибки в каждом наблюдении имеют одинаковую дисперсию и коррелированы с ошибками в предыдущем наблюдении?

16. Почему при использовании критерия Дарбина—Уотсона требуется знать два критических значения для расчетной статистики?

17. Фактическое значение dc статистики Дарбина—Уотсона равно 0. 5. Что это означает? Какое преобразование следует применить к этой модели (запишите формулу)?

18. В регрессионной модели X = Z α + ε существует автокорреляции ошибок первого порядка и ρ = 0. 6. Предположим, что

   

   

   

8

 5 1

   

X =    

 , Z =  2 1,

6  

   

   

2

 1 1

   

   

   

9 10 1

– найдите преобразованные наблюдения Dx и Dz;

– найдите ОМНК-оценки параметра α;

– найдите фактическое значение dc статистики Дарбина—Уотсона по остаткам после применения ОМНК.

8.6. Упражнения и задачи 287

19. Положим, построили регрессию для N = 20 и n = 4 и нашли оценку

N

 eiei −1

z = i =2

= 0. 5, e t e = 40, e 2= 1, e 2

= 4.

N 1 N

i

i =1

Найдите фактическое значение dc статистики Дарбина—Уотсона и с ее по- мощью проведите тест на автокорреляцию.

20. На основе годовых данных 1959–1983 годов были оценены следующие функ- ции спроса на продовольственные товары.

ln Qt = 2. 83 − 0. 47 ln P Ft + 0. 64 ln Yt,

(6. 69) (−3. 94) (24. 48)

R 2 = 0. 987, DW = dc = 0. 627,

ln Qt = 1. 87 − 0. 36 ln P Ft + 0. 38 ln Yt + 0. 44 Qt −1,

(3. 24) (−2. 79) (3. 20) (24. 10)

R 2 = 0. 990, DW = dc = 1. 65,

где Q — спрос на продукты питания, PF — цены на продукты питания,

Y — доход, в скобках приведены значения t -статистики.

Проверьте каждое уравнение на наличие автокорреляции первого порядка и дайте короткий комментарий результатов.

21. Пусть остатки в регрессии xi = α + β zi + ε i равны (1, 2, 0, −1, −2)t. Опишите первый шаг метода Кочрена—Оркарта.

22. Денежная масса измеряется с ошибкой. Как смещен коэффициент зависимо- сти динамики цен от динамики денежной массы относительно его истинного значения?

23. Пусть в парной линейной регрессии ошибки зависимой переменной и фактора независимы и имеют одинаковую дисперсию. Запишите задачу для нахожде- ния оценок коэффициентов данной регрессии (с объяснением обозначений).

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2)

288 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и ста- тистика», 1981. (Гл. 1).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 7, 8).

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 7).

5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах. Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 2, 3).

6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: «Статистика», 1977. Вып. 2. (Гл. 15).

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: Дело, 2000. (Гл. 6, 7, 9).

9. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Стати- стика», 1975. (Гл. 10).

10. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 6).

11. Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 5).

12. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econo- metrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 16).

13. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 9, 15, 16).

14. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 9, 12, 13).

15. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch 8, 9).

16. Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992. (Ch. 5, 6, 7).

Поиск по сайту: