Упражнение 1. По наблюдениям из таблицы 6.1:

По наблюдениям из таблицы 6.1:

Таблица 6.1

1.1. Вычислите

N X ˆ t 1 X ˆ−1, m −1 =

X ˆ t 1 X ˆ1

и для регрессии X 1= X −1 a −1 +1 Nb 1 + e 1найдите оценки a −1 и b 1.

1.2. Рассчитайте вектор Xc = X a

+1 b

и век-

тор e 1= X 1− Xc

−1 −1 N 1

t

cov (X −1, e) = N

1. Убедитесь, что 1 Ne 1= 0 и

1.3. Вычислите объясненную дисперсию различными способами:

q 1 =

s 2

X 1 X ˆ1;

N

t

m −1;

s 2 t −1

1 m −1.

1.4. Вычислите остаточную дисперсию различными способами:

e 1 = N e 1 e 1;

s 2 2 2

1 ˆ ˆ 2

1.5. Вычислите коэффициент детерминации различны- ми способами:

1 = s s.

1 q 1

1.6. Оцените параметры и коэффициент детерминации для ортогональной ре- грессии x α = β + ε.

6.5. Упражнения и задачи 217

– сравните эти оценки с оценками линии регрессии, полученными в 1.1;

– рассчитайте расчетные значения переменных.

1.7. Оцените матрицу оценок и значений главных компонент (AQ и Q), а также расчетное значение переменных.

1.8. Пусть единицы измерения x 1 увеличились в 100 раз. Как в этом случае долж- на выглядеть матрица преобразования D? Как изменятся оценки уравнения прямой и ортогональной регрессий?

Задачи

1. Может ли матрица

 

 9. 2 −3. 8 −2 

а)  

 

 5. 2 −3. 8 −2 

 

 

−2 0. 5 2

б) 





3. 8 2 0. 6 



−2 0. 6 2

являться ковариационной матрицей переменных, для которых строится урав- нение регрессии? Ответ обосновать.

 

1 1

 

2. Для x = (x 1, x 2) = 2 2

найдите оценки ковариаций переменных x,

 

 

 

 

6 3

оценки параметров уравнения прямой (x 1 = a 12 x 2+ 1 Nb 1 + e 1) и обратной

. Рассчитайте

вектор-столбец остатков по прямой и обратной регрессии. Убедитесь, что

сумма остатков равна нулю, вектора остатков и x 2 ортогональны при пря- мой регрессии, вектора остатков и x 1 ортогональны при обратной регрес- сии. Найдите объясненную и остаточную дисперсии различными способами, а также коэффициент детерминации.

3. Предположим, что мы, используя модель регрессии x 1 = x −1 a −1 + 1 Nb 1 +



 b 1



+ 2 a 12

+ a 13

= 3,

уравнений:





2 b 1+ 5 a 12+ a 13= 9, b 1 + a 12+ 6 a 13= −8.

218 Глава 6. Алгебра линейной регрессии

Запишите условия задачи в матрично-векторной форме, решите ее, используя метод, указанный в приложении для обратных матриц, и найдите оценки параметров регрессии.

4. Оцените регрессию x 1 = a 12 x 2 + a 13 x 3+ 1 Nb 1 + e 1и рассчитайте:

– оценку остаточной дисперсии,

– объясненную дисперсию,

– коэффициент детерминации, если

a) матрица наблюдений имеет вид:

 

5 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4 5 4

б) X t X 1 = 96, X t X 2 = 55, X t X 3 = 129, X t X 2 = 72,

1 2 3 1

1 X 3= 107, X 2 X 3= 81, X 11 N = 20, X 21 N = 15, X 31 N = 25,

X t t

N = 5.

t t t

5. Дисперсии двух переменных совпадают, корреляция отсутствует. Изобра- зить на графике — в пространстве переменных — линии прямой, обратной и ортогональной регрессий. Ответ обосновать.

6. Дисперсии выпуска продукции и количества занятых по предприятиям равны, соответственно, 10 и 20, их ковариация равна 12. Чему равен коэффициент детерминации в регрессии выпуска по занятым, коэффициент зависимости выпуска от занятых по прямой, обратной и ортогональной регрессии?

7. Дисперсии временных рядов индекса денежной массы и сводного индекса цен равны, соответственно, 150 и 200, их ковариация равна 100. Чему равен параметр влияния денежной массы на цены по модели прямой регрессии и доля объясненной дисперсии в дисперсии индекса цен?

 

14 5

8. По заданной матрице ковариации двух переменных  3



3найти оста-



53 23

точную дисперсию уравнения регрессии первой переменной по второй.

6.5. Упражнения и задачи 219

9.

= (5, 3, 7, 1) коэффициент

детерминации оказался равным 50%. Найдите сумму квадратов остатков.

10. Оцените модель x 1 = a 12 x 2 + 1 Nb 1 + e 1, используя следующие данные:

 

3 3

 

 

 

1 1

 

 

(x 1, x 2) = 8 5.

 

 

 

3 2

 

 

 

5 5

Вычислите остатки (ei) и покажите, что

 ei = 0,

i =1

 x 2 iei = 0.

i =1

11. Две парные регрессии построены на одних и тех же данных: x 1 = a 12 x 2+

2 1 2

Ответ обосновать.

12. Возможна ли ситуация, когда угловые коэффициенты в уравнениях прямой и обратной регрессии построены на одних и тех же данных, соответственно равны 0. 5 и 3. 0. Почему?

13. Что геометрически означает R 2 = 0 и R 2 = 1?

14. Регрессия x 1 = α12 x 2 + β1+ ε1оценивается по двум наблюдениям. Чему равен коэффициент детерминации?

 

1 1

 

15. Для x = (x 1, x 2) = 2 2оцените параметры ортогональной регрессии

 

 

 

 

6 3

и коэффициент детерминации. Покажите, что линия ортогональной регрес- сии находится между линиями прямой и обратной регрессии.

16. Какая из двух оценок коэффициента зависимости выпуска продукции от ко- личества занятых в производстве больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

17. Какая из двух оценок коэффициента зависимости спроса от цены больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

220 Глава 6. Алгебра линейной регрессии

18. Какой вид имеет уравнение ортогональной регрессии для переменных x 1и x 2 с одинаковыми значениями дисперсий и средних, а также имеющих положительную корреляцию равную ρ?

19. Покажите, что решение задачи



m 11





m 12



   

1 0 1

   



m 12 m 22

 − λ 

0 0

 

− a 12

 = 0, λ → min!

эквивалентно решению задачи прямой регрессии x 1 = a 12 x 2+ 1 Nb 1 + e 1.

20. Пусть x 1 и x 2 — центрированные переменные. Уравнение ортогональной регрессии, поcтроенные по множеству наблюдений над величинами x 1 и x 2, есть x 1 − x 2 = 0. Запишите вектор первой главной компоненты.

21. Оценка парной регрессии ведется в стандартизированной шкале. Как связан коэффициент детерминации и коэффициент регрессии (угловой)?

22. Была оценена регрессия x 1 = α12 x 2 + β1+ ε1, где x 1 измеряется в рублях, а x 2 — в килограммах. Затем ту же регрессию оценили, изменив единицы измерения на тысячи рублей и тонны. Как при этом поменялись следующие величины: а) оценка коэффициента α12; б) коэффициент детерминации? Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D?

23. Пусть в ортогональной регрессии, построенной для переменных x 1 и x 2, из-за деноминации рубля единица измерения x 2 изменилась в 1000 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Изменятся ли оценки? Ответ обосновать.

24. Пусть в наблюдениях задачи 2 единица измерения x 1 увеличилась в 10 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Как изме- нятся оценки уравнения прямой и обратной регрессии?

25. В регрессии в метрике Ω1 матрица Ω равна

 

9 0

 . Как преобразовать

 

0 4

исходные переменные, чтобы свести эту регрессию к ортогональной?

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 2).

6.5. Упражнения и задачи 221

2. Болч Б., Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономи- ки. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 7).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 2, 11).

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн.1. — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 1, 2).

5. Езекиэл М., Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий. — М.: «Ста- тистика», 1966. (Гл. 5, 7).

6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Стати- стика», 1977. (Гл. 10, 11).

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Ста- тистика», 1975. (Гл. 1).

9. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

10. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 3).

Поиск по сайту: