 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Обобщенный метод наименьших квадратов (взвешенная регрессия)
Пусть нарушена гипотеза g4 и матрица ковариации ошибок по наблюдени- ям равна не σ2 IN, а σ2Ω, где Ω — вещественная симметричная положительно полуопределенная матрица (см. Приложение A.1.2), т.е. ошибки могут быть кор- релированы по наблюдениям и иметь разную дисперсию. В этом случае обычные МНК-оценки параметров регрессии (7.26) остаются несмещенными и состоятель- ными, но перестают быть эффективными в классе линейных несмещенных оценок.
Ковариационная матрица оценок МНК в этом случае приобретает вид
Ma = σ2. Z t Z. −1 Z tΩ Z. Z t Z. −1.
Действительно, a − E (a) = a − α = (Z r Z)−1 Z rε, поэтому
E. (a − E (a)) (a − E (a))r. = (Z r Z)−1 Z r E (εεr) Z (Z r Z)−1=
= σ2(Z r Z)−1 Z rΩ Z (Z r Z)−1.
(Ср. с выводом формулы (7.28), где Ω = σ2 I.)
258 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели
| e |
По этим причинам желательно применять обобщенный МНК (ОМНК), заклю- чающийся в минимизации обобщенной остаточной дисперсии
e tΩ−1 e.
N
В обобщенной остаточной дисперсии остатки взвешиваются в соответствии со структурой ковариационной матрицы ошибок. Минимизация приводит к полу- чению следующего оператора ОМНК-оценивания (ср. с (7.13), где Ω = IN):
a = (Z tΩ−1 Z)−1 Z tΩ−1 X. (8.1)
Для обоснования ОМНК проводится преобразование в пространстве наблю- дений (см. параграф 6.4) с помощью невырожденной матрицы D размерности N × N, такой, что D −1 D t−1 = Ω (такое представление допускает любая ве-
щественная симметричная положительно определенная матрица, см. Приложение
A.1.2):
DX = DZ α + D ε. (8.2)
Такое преобразование возвращает модель в «штатную» ситуацию, поскольку новые остатки удовлетворяют гипотезе g4:
E (D εεt D t) = D σ2Ω D t= σ2 DD −1 D t−1 D t= σ2 IN.
Остаточная дисперсия теперь записывается как вания — как a = (Z t D t DZ)−1 Z t D t DX.
e t D t De, а оператор оцени-
N
Что и требовалось доказать, поскольку D t D = Ω−1.
Обычно ни дисперсии, ни тем более ковариации ошибок по наблюдениям не из- вестны. В классической эконометрии рассматриваются два частных случая.
Поиск по сайту: