Прогнозирование. Пусть получены оценки параметров уравнения (7.11)

Пусть получены оценки параметров уравнения (7.11). Задача прогнозирования заключается в определении возможного значения (прогноза) переменной x, объ- ясняемой этой моделью, при некоторых заданных значениях факторов z, которые не совпадают ни с одним из наблюдений в матрице Z. Более того, как прави- ло, z лежит вне области, представляемой матрицей Z. При этом предполагается,

что гипотезы g1 − g3 по-прежнему выполняются.

Обычно термин «прогнозирование» используется в случае, когда наблюдения i = 1 ,..., N в матрице Z даны по последовательным моментам (периодам) вре- мени, и заданные значения факторов z, для которых требуется определить прогноз x, относятся к какому-то будущему моменту времени, большему N (т.е. z лежит вне области, представляемой матрицей Z).

Методы прогнозирования могут быть различными. Если применяются отно- сительно простые статистические методы, как в данном случае, то часто исполь- зуют термин «экстраполирование». Если аналогичная задача решается для z, лежащих внутри области, представляемой наблюдениями в матрице Z (например, для «пропущенных» по каким-то причинам наблюдений), то используют термин

«интерполирование». Процедуры экстраполирования и интерполирования с ис- пользованием модели (7.11) с формальной точки зрения одинаковы.

Итак, задан некоторый zr = [ zr 1 ··· zrn 1], который отличается от всех zi,

i = 1 ,..., N (если i — обозначает момент времени, то r > N).

xr = zr α + ε r — истинное значение искомой величины,

Предполагаем, что гипотезы g1 − g4 выполнены как для i = 1 ,..., N, так и для r > N.

Это линейный (относительно случайных величин X) прогноз: xp (7. 26) z LX,

r = r

он не смещен относительно ожидаемого значения вслед за несмещенностью a:

E (xp) = x 0. Его ошибка ε p = xr − xp

имеет нулевое математическое ожидание

r r r r

и дисперсию

2 1+ zr. Z t Z. −1

7.4. Прогнозирование 245

которая минимальна на множестве всех возможных линейных несмещенных про- гнозов.

r = zr (α − a)+ ε r.

Поскольку случайные величины a и ε r не зависят друг от друга,

σ2 p 2.

r r 2

p = E. (ε r)

= E (zr (α − a)(α − a) zr)+ E. ε r. =

= zrMaz r+ σ2

(7. 29)

zr (Z r Z)−1 z r.

r 1+ r

Эта дисперсия минимальна среди всех возможных дисперсий линейных несмещен- ных прогнозов вслед за аналогичным свойством оценок a. Это является прямым следствием того, что оценки МНК относятся к классу BLUE. Для того чтобы в этом

убедиться, достаточно в доказательстве данного свойства оценок a, которое приве- дено в п. 7.2, заменить c rна zr.

i i

ожидание, но принципиально другую, существенно меньшую, дисперсию:

2 1 − zi. Z t Z. −1 t

a и ε i

коррелированы и поэтому:

2 1+ zi (Z r Z)−1 r

(7. 27)

= − L ε

g4

где oi — i -йорт

=

i i i

Структуру дисперсии ошибки прогноза (7.63) можно пояснить на примере n = 1. В этом случае (используются обозначения исходной формы уравнения ре- грессии, и все z — одномерные величины):

.

σ2 2

1 (zr − z ¯)2.

1+ +

N

 z ˆ2

. (7.64)

246 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

В этом легко убедиться, если перейти к обозначениям исходной формы урав- нения регрессии, подставить в (7.63) вместо zr и Z, соответственно,. zr 1.

и. Z 1 N. и сделать необходимые преобразования (правило обращения матрицы

(2 × 2) см. в Приложении A.1.2), учитывая, что

 −1

ξ ξ

 

1 ξ −ξ

 1 2

 

=  4

2 и Z r Z =  z ˆ2 + N z ¯2:



ξ3 ξ4

−ξ3 ξ1

  −1 

σ2 2

.. Z r Z N z ¯

zr =

p = σ

1+





zr 1





N z ¯

  

  

N 1

= σ21+ 1.

. 1 z ¯

  r  =

 Z r Z − N z ¯

zr 1 

  

. 2 1

− z ¯

1 Z r Z 1

= σ2

zr − 2 z ¯ zr + N.  z ˆ i + N z ¯

= σ2

1

1+ +

N

( zr − z ¯).

Что и требовалось доказать.

Это выражение показывает «вклады» в дисперсию ошибки прогноза собствен- но остаточной дисперсии, ошибки оценки свободного члена и ошибки оценки угло- вого коэффициента. Первые две составляющие постоянны и не зависят от горизон- та прогнозирования, т.е. от того, насколько сильно условия прогноза (в частности, значение zr) отличаются от условий, в которых построена модель (в частности,

значение

z ¯). Третья составляющая — ошибка оценки углового коэффициента —

определяет расширяющийся конус ошибки прогноза.

Мы рассмотрели точечный прогноз. Если дополнительно к гипотезам g1 − g4 предположить выполнение гипотезы g5 для i = 1 ,..., N и для r > N, то можно построить также интервальный прогноз.

По формуле (7.27) ошибка прогноза имеет вид:

Таким образом, она имеет нормальное распределение:

ε p p 2

r = xr − xr ∼ N (0, σ p).

Если бы дисперсия ошибки σ2была известна, то на основе того, что

xr − xp

r

σ p ∼

N (0, 1),

7.5. Упражнения и задачи 247

для xr можно было бы построить (1 − θ)100-процентный прогнозный интервал:

Таблица 7.1

xr ∈ [ xp ± σ p εˆ1

θ].

2 2 t

−1 t

Вместо неизвестной дисперсии σ p = σ

берется несмещенная оценка

(1+ zr (Z Z)

zr)

s 2 2

t −1 t

p = s ˆ e (1 + zr (Z Z)

zr).

По аналогии с (7.44) можно вывести, что

xr − xp

r

sp ∼

tN − n

−1.

Тогда в приведенной формуле прогнозного интервала необ- ходимо заменить σ p на sp и εˆ1−θна t ˆ N − n −1, 1−θ:

xr ∈. p..

xr ± spt ˆ N − n −1, 1−θ

Поиск по сайту: