Кинематические способы задания движения точки

Глава 2. КИНЕМАТИКА

Раздел 5. Кинематика точки

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором механическое движение материальных тел изучается с геометрической точки зрения и связь между движением и силами не рассматривается.

Кинематика является введением в динамику. Но она имеет и самостоятельное значение, как теоретическая основа кинематического исследования механизмов и машин. В курсе теоретической механики изучаются кинематика точки и кинематика абсолютно твердого тела.

Кинематические способы задания движения точки

Основной задачей кинематики точки является определение кинематических характеристик ее движения: траектории, т. е. линии, описываемой точкой в пространстве, скорости и ускорения. Но для этого необходимо задать движение точки, то есть уметь определять ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ. Пусть точка (рис. 1)движется относительно некоторой системы отсчета , условно принимаемой за неподвижную. Положение точки можно задать ее радиус-вектором , проведенным из начала координат . При движении точки радиус-вектор в общем случае изменяется по модулю и направлению, т. е. является вектор-функцией времени.

. (1)

Уравнение (1) позволяет в любой момент времени определить радиус-вектор (а значит положение точки ) и называется уравнением (или законом) движения точки в векторной форме. Траектория точки является геометрическим местом концов радиус-вектора , т. е. представляет собой годограф этого вектора.

Координатный способ. Положение точки в выбранной системе отсчета можно задать тремя ее координатами (рис. 1).

При движении точки ее координаты являются непрерывными функциями времени:

. (2)

Если точка движется в одной плоскости, например в плоскости , то будем иметь два уравнения движения:

. (3)

Прямолинейное движение точки определяется одним уравнением

. (4)

Уравнения (2), (3), (4) одновременно являются параметрическими уравнениями траектории (параметр – время ). Чтобы получить ее в виде зависимости между координатами, нужно исключить из уравнений движения (2)-(4) параметр .

Уравнения (2), (3), (4) вполне определяют положение точки в любой момент и поэтому называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Эти функции, отражающие реальный физический процесс, должны быть непрерывными, однозначными и дважды дифференцируемыми по времени.

Естественный способ. Этот способ применим в тех случаях, когда траектория точки заранее известна. Траектория рассматривается как криволинейная координатная ось. Положение точки на траектории определяется дуговой (криволинейной) координатой , отсчитываемой от некоторой неподвижной точки , выбранной за начало отсчета (рис. 1).

Положительное и отрицательное направления отсчета координаты устанавливаются как на обычной, т. е. прямолинейной, координатной оси. При движении точки ее дуговая координата есть функция времени.

. (5)

Это уравнение называется законом движения точки по траектории. Не следует отождествлять дуговую координату с путем, пройденным точкой по траектории, который всегда является положительной величиной.

Поиск по сайту: