Проекции вектора ускорения точки на естественные оси

Рассмотрим точку , движущуюся по заданной пространственной траектории согласно уравнению (рис. 4). Пусть в момент времени , точка занимает положение , определяемое координатой , а в момент - положение , определяемое координатой . Обозначим орты касательных в этих положениях через и , угол между их направлениями называется углом смежности, соответствующий дуге (дуге .

Отношение называется средней кривизной между точками и .

Предел величины при называется кривизной кривой в данной точке :

. (24)

Радиусом кривизны кривой в данной точке называется величина . (25)

Отложив от точки отрезок (рис 4), найдем центр кривизны кривой в точке . Напомним, что радиус кривизны окружности в любой ее точке равен радиусу. Для прямой линии кривизна , а радиус кривизны .

Можно показать, что вектор ускорения точки при естественном способе задания ее движения представляется следующим образом:

. (26)

Таким образом, ускорение точки (полное ускорение точки) может быть представлено в виде геометрической суммы двух составляющих ускорений: ускорения, направленного по касательной к траектории и называемого касательным или тангенциальным , и ускорения, направленного по главной нормали и называемого нормальным .

Следовательно, формулу (26) можно представить в виде:

. (27)

Скалярные множители в (26) являются проекциями и ускорения точки на касательную и главную нормаль:

, (28)

. (29)

Модуль касательного ускорения равен

. (30)

Из зависимостей (26), (27) видно, что вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и на бинормаль не проектируется .

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по модулю и направлено в сторону скорости при ускоренном движении точки (рис. 6а) и в обратную сторону - при её замедленном движении (рис 6б).

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению и направлено всегда в сторону вогнутости траектории. При движение точки будет равномерным; при точка движется прямолинейно.

Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения равен

. (31)

Вопросы для самопроверки к разделу 5

1. Какими способами задается движение точки?

2. Установите связь между векторным и координатным способами задания движения точки.

3. Установите, как по уравнениям движения точки определяется уравнение траектории; как определяется закон движения по траектории.

4. Определите скорость точки при векторном и координатном способах задания движения.

5. Определите скорость точки при естественном способе задания ее движения.

6. Определите ускорение точки векторным и координатным способами.

7. Что характеризуют скорость точки, ускорение точки?

8. Перечислите естественные оси, их орты и соответствующие плоскости.

9. Чем орты естественных осей отличаются от ортов осей неподвижной декартовой системы отсчета?

10. Что характеризует касательное ускорение?

11. Что характеризует нормальное ускорение?

12. Какое движение точки называется равноускоренным, равнозамедленным?

13. Назовите кривые, имеющие постоянный радиус кривизны.

14. Решите самостоятельно задачи 12.4, 12.5, 12.9, 12.14, 12.22, 12.25 из [3] или [10].

Поиск по сайту: