Скорости точек плоской фигуры

Установим зависимость между скоростями точек плоской фигуры. Допустим, что скорость полюса плоской фигуры известна и требуется определить скорость любой другой точки ее, например точки . Полагаем, что угловая скорость вращения фигуры также известна. Из начала неподвижной системы отсчета проведем в точки и радиус-векторы и . Соединим точки и радиус-вектором , проведенным из точки к точке (рис. 16).

Во все время движения между этими радиус-векторами сохраняется зависимость

. (65)

Дифференцируя это соотношение по получим

,

но так как в соответствии с (6) ,

то имеем:

. (66)

Поскольку модуль вектора при движении сохраняется постоянным, а направление его при вращении плоской фигуры вокруг полюса изменяется, то производная представляет собой скорость вращения точки вокруг полюса , и в соответствии с (55) имеем

. (67)

Тогда выражение (66) принимает вид:

. (68)

Тем самым доказана теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки во вращении фигуры вокруг полюса.

Вектор направлен перпендикулярно к радиус-вектору в сторону вращения фигуры и по модулю равен

. (69)

Зависимость (68) представлена на рис. 16 параллелограммом векторов скоростей.

Использование зависимости (68) в ряде случаев существенно облегчается при помощи следующей теоремы: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны между собой. Пусть известны скорости и двух точек плоской фигуры и (рис. 17). Согласно зависимости (68) , где – скорость точки во вращении фигуры вокруг точки , принятой за полюс. Проектируя обе части этого равенства на ось , проходящую через точки и , и учитывая, что , так как , имеем:

. (70)

Теорема доказана.

Поиск по сайту: