Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела определяются кинематическими характеристиками движения тела в целом и положением точек в теле.

При вращении тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны этой оси, а центры лежат на ней. Рассмотрим точку тела (рис. 8), лежащую в полуплоскости и находящуюся от оси вращения на расстоянии ; ее траектория – окружность радиуса с центром . Покажем вид на траекторию точки тела с положительного конца оси (рис. 9).

Применим естественный способ задания движения точки. За начало отсчета дуговой координаты выберем точку , лежащую в неподвижной полуплоскости . Положительное направление отсчета соответствует положительному направлению отсчета угла поворота .

Положение точки в данный момент времени определяется соотношением , где значение выражено в радианах.

Итак, уравнение движения точки по траектории имеет вид

. (45)

Проекция скорости на касательную в соответствии с (14), получается путем дифференцирования уравнения (45) по времени

. (46)

Вектор скорости направлен в сторону вращения тела по касательной к окружности и, следовательно, перпендикулярен к радиусу описываемой окружности (рис. 9).

Модуль скорости точки равен

. (47)

Эпюра векторов скоростей точек, лежащих на радиусе представлена на рис. 9.

Проекция ускорения точки на касательную (касательное ускорение) в соответствии с (36) равно

. (48)

Модуль касательного ускорения равен

. (49)

Модуль нормального ускорения точки равен , но , а для окружности ; следовательно, имеем:

. (50)

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (рис 10).

Касательное ускорение точки направлено по касательной в сторону вращения тела (рис. 10а), если вращение ускоренное, и в сторону, противоположную вращению тела, (рис.10б), если вращение замедленное.

Нормальное ускорение точки всегда направлено от точки к оси вращения тела (к центру описываемой точкой окружности).

Модули ускорений и пропорциональны расстояниям точек вращающегося тела до оси вращения.

Полное ускорение точки в соответствии с (27) равно , а его модуль равен:

(51)

Направление вектора полного ускорения точки определяется углом , образуемым вектором с радиусом . Из рис. 10 видно, что:

. (52)

В частном случае равномерного вращения тела имеем:

, .

Полное ускорение направлено по радиусу к оси вращения от точки .

Поиск по сайту: