Прямая и обратная задачи электростатики

Теория

Решая совместно уравнения Максвелла и в электростатическом случае получают уравнение Пуассона, которое описывает связь потенциала электрического поля с распределением зарядов, то есть связывает полевые характеристики (потенциал) со свойствами среды (объемная плотность заряда)

. (3.1)

Если в данной точке среды отсутствуют объемные заряды, то получаем частный случай уравнения Пуассона – уравнение Лапласа

. (3.2)

Оператор – оператор Лапласа, выражение для которого зависит от системы координат.

В декартовой системе координат

; (3.3)
в цилиндрической –

; (3.4)
в сферической –

.(3.5)

В случае распределения заряда по сфере, шару или цилиндру в силу симметрии запись оператора Лапласа можно сократить:

, (3.6)

. (3.7)

Прямой задачей электростатики называют нахождение потенциала электрического поля по известному распределению заряда

, (3.8)

а обратной – нахождение распределения зарядов по известному потенциалу

. (3.9)

Темы для развернутых ответов

1. Прямая и обратная задачи электростатики. Примеры.

2. Уравнение Пуассона и его решение. Привести пример.

Алгоритм решения прямой задачи электростатики
(решения уравнения Пуассона):

1. По условию задачи найти в заданной точке наблюдения. Записать уравнение Пуассона или Лапласа () в инвариантной форме.

2. Исходя из симметрии задачи выбирать систему координат так, чтобы потенциал (по возможности) зависел от одной переменной.

3. Решить дифференциальное уравнение второго порядка. В решение войдут произвольные константы.

4. Найти значения констант из условий, которым должен соответствовать потенциал – непрерывность и конечность, также используя граничные условия для вектора напряженности электрического поля (если есть граница раздела сред).

5. Для использования граничных условий необходимо повторить пункты с 1 по 3 для второй среды, получив еще две константы.

Литература: [1], глава 2, §15; [3], глава 1, §11.

Основной блок задач

1. Дан шар радиуса , равномерно заряженный по объему с плотностью заряда . Вычислить потенциал, создаваемый шаром в точке наблюдения при условии:

· а) точка лежит вне шара ;

· б) точка лежит внутри шара .

2. Рассчитайте потенциал, создаваемый бесконечно длинным цилиндром радиуса , заряженного по объему с плотностью .

3. Дана бесконечная пластинка, ориентированная в пространстве перпендикулярно оси . Толщина пластинки , она заряжена с объемной плотностью заряда . Точка наблюдения находится на расстоянии от центра пластины. Найдите потенциал электрического поля в точке наблюдения.

Дополнительный блок задач

4. В сферических координатах объемная плотность заряда внутри шара радиуса симметрична относительно оси и имеет вид , где – полярный угол, а начало координат совпадает с центром шара. Найдите потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого этим шаром, во всем пространстве. Учтите, что в данном случае потенциал не зависит от азимутального угла .

5. Бесконечный цилиндр радиуса заряжен равномерно по своей длине. Объемная плотность заряда , где – полярный угол, а ось цилиндрической системы координат совпадает с осью цилиндра. Найдите потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого этим цилиндром, во всем пространстве.

6. Найдите распределение объемной плотности заряда, создавшего в пространстве электрическое поле, потенциал которого в сферических координатах имеет вид:

· при ;

· при ; где и – некоторые постоянные.

7. Потенциал электрического поля в сферических координатах имеет вид при и при , где и – постоянные. Найдите распределение заряда, создавшего это поле

Замечание: Условия упражнений 4-7 записаны в системе СГСЭ, однако методы решения остаются теми же.

Практическое занятие №4

Поиск по сайту: