Методы расчёта линейных электрических цепей

Задачей расчёта является: определение токов в ветвях, потенциалов в отдельных точках цепи или напряжения между отдельными точками.

При этом должны быть известны конфигурация цепи и параметры её отдельных элементов.

Методы, изложенные ниже, приводятся для цепи синусоидального тока, они же справедливы и для цепей постоянного тока, который следует рассматривать как частный случай переменного с частотой равной нулю.

2.9.1. Методпреобразования

Используется, когда цепь имеет один источник электрической энергии.

Состоит в приведении сложной разветвлённой цепи путём преобразо­ваний к простейшей, содержащей одно сопротивление.

Правила преобразований:

1. Замена последовательно включённых элементов одним эквивалент­ным.

Рис.45

(2.81)

2. Замена параллельно включённых элементов одним эквивалентным.

Рис.46

. (2.82)

Частный случай: для двух параллельно включенных проводников

. (2.83)

3. Преобразование «звезда» - «треугольник»

– треугольник в звезду. (2.84)

– звезда в треугольник. (2.85)

Рис.48 Рис.49

Рис.51 Рис.50

(2.87)

. (2.88)

Рис.52 Рис.53

. (2.89)

Находя токи, возвращаемся по схемам обратно.

; (2.90)

; (2.91)

; (2.92)

; (2.93)

; (2.94)

; (2.95)

; (2.96)

. (2.97)

2.9.2. Расчёт цепей с помощью законов Кирхгофа

Пусть схема содержит n ветвей с источником ЭДС и источниками тока.

Причём m – число источников тока, отсюда число неизвестных токов (n-m).

Метод законов Кирхгофа сводится к составлению и решению системы из (n-m) уравнений относительно неизвестных токов.

Пусть k – число узлов в цепи, из принципа непрерывности тока следует, что число линейно независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно (k-1).

Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для независимых контуров.

Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно n-m-(k-1).

Контуры следует выбирать так, чтобы они не содержали источник тока, поскольку напряжение на зажимах источника тока заранее не известно.

,

,

Рис.54

(2.98)

Недостаток рассмотренного метода – его громоздкость, так как для схемы с большим числом ветвей получим систему с таким же количеством уравнений.

2.9.3. Метод контурных токов

Пусть схема не содержит источников тока. Расчёт цепи может быть сведён к решению всего n-(k-1) уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.

Для этого цепь мысленно рассматривают как совокупность независи­мых соприкасающихся контуров, по которым текут контурные токи.

Направления контурных токов выбирают произвольно, а обход конту­ров совершают в направлении контурных токов. Затем по особым правилам для выбора контуров составляют уравнения (по второму закону Кирхгофа).

Рис.56

Эти уравнения имеют вид:

(2.99)

(2.100)

Пусть цепь содержит р - независимых контуров, тогда система уравне­ний будет содержать уравнения типа:

. (2.101)

. (2.102)

– контурные токи.

– контурное сопротивление р-го контура (сумма сопротивлений ветвей, образующих р-й контур)

– сопротивление связи, сопротивление ветви, общей для р-го и q-го контуров.

Если в общих (смежных), ветвях направления контурных токов совпадают, то сопротивление связи берётся со знаком +, иначе –.

Поскольку , то полученные матрицы обладают симметрией относительно главной диагонали.

– контурная ЭДС р-го контура (алгебраическая сумма ЭДС входящих в р-й контур).

Если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС, то она берётся со знаком +, иначе –.

Для схемы 1:

(2.103)

Для схемы 2:

(2.104)

После определения контурных токов рассчитывают фактические токи в ветвях. Токи в ветвях принадлежат только одному контуру, равны соответственно контурным токам или могут отличаться по направлению.

Для схемы 1:

Для схемы 2:

Токи в ветвях общих для двух или нескольких контуров равны сумме соответствующих контурных токов.

Для схемы 1: .

Для схемы 2:

Если схема содержит источника тока, то выбирается контур, содержащий этот источник тока. Уравнение для него не составляется, так как контурный ток равен, току самого источника.

Рис.56

2.9.4. Метод узловых потенциалов

Если в электрической цепи число узлов без единицы меньше числа независимых контуров, то удобно воспользоваться методом узловых потенциалов. Он сводится к составлению и решению системы из (к-1) уравнений относительно неизвестных потенциалов узлов (узловых потенциалов).

При этом потенциал одного из узлов полагают равным нулю. Эти уравнения вытекают из первого закона Кирхгофа, и составляются по определённым правилам.

Так для любой цепи с тремя узлами система в общем случае имеет вид:

(2.105)

Для цепи с четырьмя узлами:

(2.106)

В общем случае система любого порядка содержит уравнения типа:

, (2.107)

.

Здесь: – потенциалы соответствующих узлов.

– сумма проводимостей ветвей сходящихся в n-ом узле.

– проводимость ветвей соединяющих узел n с узлом q.

– узловой ток n-го узла.

– ЭДС в ветвях между узлами n и q.

Если источник ЭДС направлен к узлу n, то он берётся с плюсом, иначе с минусом.

Аналогично для токов источников между узлами n и q.

Составим систему (2.108) для схемы 1:

Составим систему (2.109) для схемы 2:

После решения системы и определения потенциалов узлов находим токи в ветвях с помощью закона Ома.

Для схемы 1:

; ;

; .

2.9.5. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источник ЭДС и тока одной эквивалентной

Условия эквивалентности:

При любой величине тока , напряжения у обеих схем должны быть одинаковы.

. (2.110)

(2.111)

Тогда:

. (2.112)

Пусть цепь содержит n параллельных ветвей тогда:

. (2.113)

Для эквивалентной схемы:

. (2.114)

Сравнивая (2.113) и (2.114) видим:

.

. (2.115)

. (2.116)

Если направление эквивалентной ЭДС и какого-либо источника ЭДС в цепи совпадают, то последнее берётся с плюсом, иначе с минусом.

Аналогично действуют для источников тока.

2.9.6. Принцип наложения и метод наложения

Принцип наложения: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым источником электрической энергии цепи в отдельности.

Принцип суперпозиции справедлив для любой линии электрической цепи. Используется в методе расчёта, называется методом наложения.

Порядок расчёта:

Поочерёдно рассчитывают токи, возникающие от действия каждого источника в отдельности, мысленно удаляя остальные источники в цепи, но оставляя в ней внутреннее сопротивление источников. Это значит, что участок цепи, в которой был ЭДС, закорачивается, а с источником тока разрывается. Затем находят фактические токи в ветвях, путём суммирования частичных токов.

; ; ; .

Рис.58

2.9.7. Метод эквивалентного генератора

Используется для определения тока в одной ветви электрической цепи.

Вывод: выделим из электрической цепи ветвь с искомым током, а остальную часть мысленно заключим в прямоугольник.

Рис.59

Если последовательно с нагрузкой включить две одинаковые, и направленные друг к другу ЭДС, то искомый ток не изменится. .

Пусть исходная цепь содержит n источников электрической энергии, тогда согласно принципу наложения искомый ток равен.

. (2.117)

Под током будем понимать ток, вызванный всеми источниками исходной цепи и ЭДС .

Ток вызывается только источником , и в прямоугольнике отсутствуют источники электрической энергии.

. (2.118)

. (2.119)

Подберём такую, чтобы .

Последнее эквивалентно размыканию ветви с искомым током (режиму холостого хода).

. (2.120)

Тогда:

, (2.121)

где – комплексное входное сопротивление пассивного двухполюсника, со стороны зажимов ab.

Рис.60

Перепишем (2.121) в виде

. (2.122)

Уравнению (2.122) соответствует схема:

Часть схемы заключённую в пунктир можно рассматривать как эквивалентный генератор, ЭДС которого , а внутреннее сопротивление .

Порядок исполнения метода эквивалентного генератора.

В соответствии с направлением искомого тока производим разметку зажимов нагрузки и указываем стрелкой направление .

Удаляем сопротивление нагрузки и рассчитываем в полученной цепи напряжение .

Находим входное сопротивление пассивного двухполюсника со стороны зажимов ab.

Пользуемся формулой (2.122).

Пример:

Рис.62

. (2.123)

. (2.124)

. (2.125)

. (2.126)

Опытное определение параметров эквивалентного генератора:

Измеряем величину .

Измеряем ток короткого замыкания.

. (2.127)

Поиск по сайту: