Геометрична форма комплексного числа

Комплексне число z зображується точкою площини z (рис. 1.1, а) або вектором з початком в точці О (0, 0) і кінцем в точці М (х, у) (рис. 1.1, b).

Рис. 1.1. Зображення комплексного числа на площині

В декартовій системі координат між точкою z та її декартовими координатами має місце взаємно однозначна відповідність z Û (x, y). При векторному зображені можна ввести полярні координати (j, r),де r – модуль числа z, j – аргумент числа z:

, j = Arg z. (1.12)

ü Величина Arg 0 не має змісту, бо точка, в яку зливаються початок і кінець вектора, не має напрямку.

ü Знаючи полярні координати (j, r),можна перейти до декартових координат:

(1.13)

ü При переході від декартових до полярних координат треба врахувати, що аргумент комплексного числа z – багатозначна величина. Його зображення на z площині здійснюється з точністю до цілого числа k повних обертів вектора z. Тому з Arg z виділяється головна частина arg z:

Arg z = arg z ± 2 p k, k = 0, ± 1, ± 2…, (1.14)

де arg z – головне значення аргументу комплексного числа z, яке розглядається як алгебраїчна величина. Тому

– p < arg z ≤ p. (1.15)

При 0 ≤ arg z ≤ p кут j відкладається у додатному напрямку, а при – p < arg z ≤ 0– у від’ємному (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

ü При переході від декартових до полярних координат легко одержати систему рівнянь:

(1.16)

Для визначення головного значення аргументу треба здійснити ще ряд дій. Виходячи з формули (1.16), спочатку визначають головне значення arccos z або arcsin z, а потім визначають ту чверть кола, в якому лежить головне значення j = arg z. Це можна зробити, враховуючи знаки функцій sin j та cos j. Чотири комбінації знаків { sign(sin j), sign(cos j) }: {+, +}, {+, –}, {–, –}, {–, +},визначають відповідну чверть повного оберту: від першої чверті до четвертої (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Знаки функцій sin j та cos j

Значення arg z зручно визначати з рівняння , користуючись головним значенням арктангенса кута j.

Тоді система (1.16) набуває вигляду:

, .

Але треба враховувати, що в межах одного оберту значенню відповідають два значення кута j: (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Обчислення кута оберту вектора комплексного числа:
a) tg j > 0, при цьому tg j ₁ = tg j ₂; b) tg j < 0, при цьому tg j ₁ = tg j ₂.

В першій і третій чвертях знаки координат x і y співпадають, тому (рис. 1.4, а), а в другій і четвертій чвертях їх знаки протилежні, тому (рис. 1.4, b). Треба лише вірно вибрати значення кутів j ₁ чи j ₂ як arg z. Значення arg z зручно визначати за значенням , орієнтуючись на значення координат x і y. Має місце формула:

(1.17)

ü Додавання та віднімання векторів, що зображують комплексні числа, мають свої особливості (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Додавання та віднімання комплексних чисел

Так як початок кожного вектора, що зображає число z, прив’язаний до початку координат, то сума двох векторів + зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах як на сторонах. Різницю – формально можна виразити як вектор, що починається в точці та закінчується в точці , але після цьогопотрібно паралельно перенести цей вектор так, щоб його початок був у точці О (0, 0).

ü З додавання та віднімання комплексних чисел геометричним способом легко одержати нерівності:

, (1.18)

,(1.19)

.(1.20)

Знак рівності буде тоді, коли arg = arg =…= arg . В цьому випадку формули (1.18) та (1.20), враховуючи формули (1.6), (1.8) та (1.10), можна записати у вигляді

(1.21)

(1.22)

Поиск по сайту: